Question

已知二次函數(shù)y=x²-2（m+1）x+m（m+2）
（1）求證：無論m為任何實數(shù)，該函數(shù)圖象與x軸兩個交點之間的距離為定值．
（2）若該函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=2，試求二次函數(shù)的最小值．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點,二次函數(shù)的最值

專題：計算題

分析：（1）設(shè)拋物線與x軸的兩交點分別為（a，0），（b，0），根據(jù)拋物線與x軸的交點問題，得到方程x²-2（m+1）x+m（m+2）=0的兩根分別為a與b，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得a+b=2（m+1），ab=m（m+2），而函數(shù)圖象與x軸兩個交點之間的距離可表示為|a-b|，然后根據(jù)代數(shù)式的變形得到|a-b|=

(a-b)2

=

(a+b)2-4ab

，再利用整體代入的方法得到|a-b|=

4(m+1)2-4m(m+2)

=2，由此可判斷函數(shù)圖象與x軸兩個交點之間的距離為定值．
（2）根據(jù)拋物線的對稱軸方程得到x=-

-2(m+1)

1

=2，解得m=0，則拋物線解析式為y=x²-2x，然后配成頂點式得到二次函數(shù)的最小值．

解答：（1）證明：設(shè)拋物線與x軸的兩交點分別為（a，0），（b，0），
則a+b=2（m+1），ab=m（m+2），
所以|a-b|=

(a-b)2

=

(a+b)2-4ab

=

4(m+1)2-4m(m+2)

=2，
即無論m為任何實數(shù)，該函數(shù)圖象與x軸兩個交點之間的距離為定值；
（2）解：根據(jù)題意得x=-

-2(m+1)

1

=2，解得m=0，
則拋物線解析式為y=x²-2x=（x-1）²-1，
所以二次函數(shù)的最小值為-1．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點：求二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標，令y=0，即ax²+bx+c=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標．對于二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)，△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．