Question

7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)B在x軸的正半軸上，∠ABO=30°，點(diǎn)C在y軸上．
（1）直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)：（0，-1）或（0，3）；
（2）點(diǎn)P關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)P′在x軸上，AP=1，在圖中標(biāo)出點(diǎn)P的位置并說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出點(diǎn)C坐標(biāo)，三角形ABC為等腰三角形分三種情況，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式分情況討論即可得出結(jié)論；
（2）由對稱的特性結(jié)合到點(diǎn)的距離為固定值得圖象為圓，可得出點(diǎn)P的位置．

解答 解：（1）根據(jù)題意完善圖形，如圖1所示．

∵∠ABO=30°，點(diǎn)A（0，1），
∴OA=1，tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，AB=$\frac{OA}{sin∠ABO}$=2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（$\sqrt{3}$，0）．
∵點(diǎn)C在y軸上，
∴設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，m）．
∵三角形ABC為等腰三角形，
∴分三種情況考慮：
①當(dāng)AC=AB時(shí)，由兩點(diǎn)間的距離公式可知：
$\sqrt{{0}^{2}+（m-1）^{2}}$=2，解得：m=-1，或m=3，
即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-1）或（0，3）；
②當(dāng)AC=BC時(shí)，由兩點(diǎn)間的距離公式可知：
$\sqrt{{0}^{2}+（m-1）^{2}}$=$\sqrt{（0-\sqrt{3}）^{2}+（m-0）^{2}}$，解得：m=-1，
即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-1）；
③當(dāng)AB=BC時(shí)，由兩點(diǎn)間的距離公式可知：
2=$\sqrt{（0-\sqrt{3}）^{2}+（m-0）^{2}}$，解得m=-1或m=1（舍去），
即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-1）．
綜上得：點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（0，-1）或（0，3）．
故答案為：（0，-1）或（0，3）．
（2）第一步：以A點(diǎn)為圓心，1為半徑作圓，⊙A與x軸切與原點(diǎn)O，
第二步：過點(diǎn)O作OP⊥AB交⊙A于點(diǎn)P，P點(diǎn)即為所求（圖形如圖2）．

∵點(diǎn)P與點(diǎn)P′關(guān)于直線AB對稱，且AP=1，
∴AP′=AP=1．
故用上面的畫法尋找點(diǎn)P．

點(diǎn)評 本題考查了兩點(diǎn)間的距離公式、等腰三角形的性質(zhì)以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）按照等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式得出關(guān)于m的一元二次方程；（2）明白對稱的性質(zhì)以及到點(diǎn)的距離為定值的圖象為圓．本題屬于中檔題，難度不大，（1）問題不大；（2）中巧用先尋找點(diǎn)P的對稱的P′，再由對稱去尋找點(diǎn)P．