Question

如圖，二次函數(shù)y=ax²-

3

2

x+c（a≠0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，已知點(diǎn)A（-1，0），點(diǎn)C（0，-2）．
（1）求拋物線的函數(shù)解析式；
（2）試探究△ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標(biāo)；
（3）此拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以P、A、C、B為頂點(diǎn)的四邊形為梯形？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出所有符合條件的P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）若點(diǎn)M是線段BC下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△MBC面積的最大值以及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入解析式中即可；
（2）利用△OAC∽△OCB或勾股定理逆定理，判斷出△ABC為直角三角形；外接圓的圓心為AB的中點(diǎn)，且坐標(biāo)為（

3

2

，0）；
（3）根據(jù)梯形的定義，分①AB是底邊時(shí)，PC∥AB，利用點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相等，代入拋物線解析式計(jì)算求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，即可得解；②AC是底邊時(shí)，PB∥AC，先根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)得到直線AC的解析式，再根據(jù)平行直線的解析式的k值相等求出過(guò)點(diǎn)B與AC平行的直線的解析式，然后與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；③BC是底邊時(shí)，AP∥BC，根據(jù)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)求出直線BC的解析式，再根據(jù)平行直線的解析式的k值相等求出過(guò)點(diǎn)A與BC平行的直線的解析式，然后與拋物線解析式聯(lián)立求解即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）△MBC的面積可由S_△MBC=

1

2

BC×h表示，若要它的面積最大，需要使h取最大值，即點(diǎn)M到直線BC的距離最大，若設(shè)一條平行于BC的直線，那么當(dāng)該直線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，該交點(diǎn)就是點(diǎn)M．

解答：解：（1）將A（-1，0）、點(diǎn)C（0，-2）．代入y=ax²-

3

2

x+c（a≠0），得

a+ 3 2 +c=0 c=-2

，
解得

a= 1 2 c=-2

．
故該拋物線的解析式為：y=

1

2

x²-

3

2

x-2；

（2）由（1）的函數(shù)解析式可求得：B（4，0）．
∵A（-1，0）、C（0，-2），
∴OA=1，OC=2，OB=4，
即：OC²=OA•OB，又：OC⊥AB，
∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；
∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，
∴△ABC為直角三角形，AB為△ABC外接圓的直徑；
所以該外接圓的圓心為AB的中點(diǎn)，且坐標(biāo)為：（

3

2

，0）；

（3））①AB是底邊時(shí)，PC∥AB，則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)相同，是-2，
即

1

2

x²-

3

2

x-2=-2，
整理得，x²-3x=0，
解得x₁=0（為點(diǎn)C坐標(biāo)，舍去），x₂=3，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，-2）；
②AC是底邊時(shí)，PB∥AC，由點(diǎn)A（-1，0）、C（0，-2）可得直線AC的解析式為y=-

1

2

x-2，
設(shè)直線PB的解析式為y=-

1

2

x+m，
把點(diǎn)B（4，0）代入得，-

1

2

×4+m=0，
解得m=2，
所以，直線PB的解析式為y=-

1

2

x+2，
則

y= 1 2 x2- 3 2 x-2 y=- 1 2 x+2

，
解得

x=-5 y=18

或

x=4 y=0

（為點(diǎn)B的坐標(biāo)，舍去），
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-5，18）；
③BC是底邊時(shí)，AP∥BC，由點(diǎn)B（4，0）、C（0，-2）可得直線BC的解析式為y=2x-2，
設(shè)直線AP的解析式為y=2x+n，
把點(diǎn)A（-1，0）代入得，2×（-1）+n=0，
解得n=2，
所以，直線AP的解析式為y=2x+2，
則

y= 1 2 x2- 3 2 x-2 y=2x+2

，
解得

x=5 y=3

或

x=-1 y=0

（為點(diǎn)A的坐標(biāo)，舍去），
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，3）；
經(jīng)檢驗(yàn)，三種情況時(shí)，兩底邊都不相等，
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P共有3個(gè)：（3，-2）或（5，3）或（-5，18）；

（4）已求得：B（4，0）、C（0，-2），可得直線BC的解析式為：y=

1

2

x-2；
設(shè)直線l∥BC，則該直線的解析式可表示為：y=

1

2

x+b，當(dāng)直線l與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可列方程：

1

2

x+b=

1

2

x²-

3

2

x-2，即：

1

2

x²-2x-2-b=0，且△=0；
∴4-4×

1

2

（-2-b）=0，即b=-4；
∴直線l：y=

1

2

x-4．
∴點(diǎn)M即直線l和拋物線的唯一交點(diǎn)，則

y= 1 2 x2- 3 2 x-2 y= 1 2 x-4

，
解得：

x=2 y=-3

，即 M（2，-3）．
過(guò)M點(diǎn)作MN⊥x軸于N，
S_△BMC=S_梯形OCMN+S_△MNB-S_△OCB=

1

2

×2×（2+3）+

1

2

×2×3-

1

2

×2×4=4．
綜上所述，點(diǎn)M（2，-3），△MBC面積最大值是4．

點(diǎn)評(píng)：考查了二次函數(shù)綜合題，該題的難度不算太大，但用到的瑣碎知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性很強(qiáng)．熟練掌握直角三角形的相關(guān)性質(zhì)以及三角形的面積公式是理出思路的關(guān)鍵．（3）要分AB、AC、BC分別是底邊三種情況討論求解．