Question

19．如圖，在△ABC中，AB=AC=BC=8，點D為AB中點，點P從B點沿射線BC以2個單位/每秒運動，點Q從點C沿線段CA以1個單位/每秒運動，運動時間為t秒．求：
（1）t為何值時，△BPD為直角三角形？
（2）t為何值時，△PCQ為等腰三角形？
（3）是否存在這樣時刻t，使得△BPD與△PCQ全等？若存在，求出這樣的時間t的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）分∠BPD=90°、∠BDP=90°兩種情況，根據(jù)直角三角形的性質計算；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質和判定定理列出方程，解方程即可；
（3）分PC=BD、BD=CQ兩種情況，根據(jù)全等三角形的判定定理進行判斷即可．

解答 解：（1）當∠BPD=90°時，BP=$\frac{1}{2}$BD，即2×2t=4，
解得，t=1；
當∠BDP=90°時，
∵點D為AB中點，
∴點P與點C重合，
∴t=4；
∴當t=1或t=4時，△BPD為直角三角形；

（2）∵AB=AC=BC=8，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠C=60°，
當△PCQ為等腰三角形時，△PCQ為等邊三角形，
∴CP=CQ，即8-2t=t，
解得，t=$\frac{8}{3}$；

（3）不存在這樣時刻t，使得△BPD與△PCQ全等．
當PC=BD時，8-2t=4，
解得，t=2，
則BP=4，
此時CQ=2，
∴BP≠CQ；
當BD=CQ時，t=4，
此時BP≠CP，
∴不存在這樣時刻t，使得△BPD與△PCQ全等．

點評 本題考查的是等邊三角形的性質、直角三角形的判定、等腰三角形的判定以及全等三角形的判定，掌握相關的性質定理和判定定理是解題的關鍵，解答時，注意分情況討論思想的靈活運用．