Question

17．如圖，平行四邊形ABCD中，過A作AM⊥BC于M，交BD于E，過C作CN⊥AD于N，交BD于F，連結AF、CE．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）當四邊形ABCD滿足什么條件時，四邊形AECF是菱形？證明你的結論．

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質可得AB=CD，∠ABE=∠CDF，再因為MA⊥AN，NC⊥BC可得∠BAM=∠DCN，利用ASA定理可證得結論；
（2）利用菱形的性質可得AC⊥EF，由全等三角形的性質可得AE=CF，由平行四邊形的判定定理可得四邊形AECF為平行四邊形，利用菱形的判定定理得出結論．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，∠BAD=∠BCD，
∵MA⊥AN，NC⊥BC，
∴∠BAM=∠DCN，
在△ABE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CDF}\\{AB=CD}\\{∠BAM=∠DCN}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（ASA）；

（2）解：四邊形ABCD是菱形時，四邊形AECF是菱形．
∵△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵MA⊥AN，NC⊥BC，
∴AM∥CN，
∴四邊形AECF為平行四邊形，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥EF，
∴四邊形AECF為菱形．

點評 本題主要考查了平行四邊形的性質和菱形的性質及判定定理，綜合運用各定理是解答此題的關鍵．