Question

如圖，直線y=2x-1與x軸、y軸分別交于B、C兩點．
（1）求點B的坐標；
（2）點A（x，y）是直線y=2x-1上的一個動點，試寫出△AOB的面積S與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）探究：
①當點A運動到什么位置時，△AOB的面積為

1

4

，并說明理由．
②在①成立的情況下，x軸上是否存在點P，使△AOP是等腰三角形；若存在，請直接寫出滿足條件的所有P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）求出y=0時x的值即可得出B點坐標；
（2）根據(jù)OB=

1

2

，S_△AOB=

1

2

OB•|y|即可得出結(jié)論；
（3）①先根據(jù)（2）中三角形的面積公式求出x的值，故可得出A點坐標；
②根據(jù)OA=OP，OA=AP及OP=AP三種情況進行討論．

解答：解：（1）∵當y=0時，x=

1

2

，
∴B（

1

2

，0）；

（2）∵OB=

1

2

，點A（x，y）是直線y=2x-1上的一個動點，
∴|y|=|2x-1|，
∴S_△AOB=

1

2

OB•|y|=

1

4

|2x-1|，
①當2x-1≥0，即x≥

1

2

時，S=

1

2

x-

1

4

（x≥

1

2

）；
②當2x-1＜0，即x＜

1

2

時，S=

1

4

-

1

2

x（x＜

1

2

）．

（3）①

1

2

x-

1

4

=

1

4

或

1

4

-

1

2

x=

1

4

，解得x=1或x=0．
∴A（1，1）或A（0，-1）時S_△AOB=

1

4

．
②A（1，1）時，如圖1所示，
若OA=OP，
∵OA=

2

，∴OP=±

2

，即P₁（-

2

，0），P₂（

2

，0）；
若OA=AP，∵A（1，1），∴P（2，0）；
若OP=AP，設(shè)P（x，0），則|x|=（x-1）²+1²，
解得x=1或x=2，
∴P（1，0），（2，0）；
當A（0，-1）時，如圖2所示，點A與點C重合，
故P（±1，0）
存在這樣的P點有P₁（-

2

，0），P₂（

2

，0），P₃（1，0），P₄（2，0），P₅（-1，0），

點評：本題考查的是一次函數(shù)綜合題，涉及到一次函數(shù)圖象上點的坐標特點、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的面積公式等知識，難度適中．