Question

4．如圖，△ABC是等邊三角形，邊長(zhǎng)為5，D為AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接BD，⊙O為△ABD的外接圓，過(guò)點(diǎn)A作AE∥BC交⊙O于E，連接DE，則△BDE的面積的最小值為$\frac{75\sqrt{3}}{8}$．

Answer 1

分析 首先證明△BDE是等邊三角形，然后由題意可知當(dāng)⊙O的半徑最小時(shí)△BDE的面積的最小，即當(dāng)當(dāng)AB是⊙O的直徑時(shí)，⊙O的半徑最小=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，并且此時(shí)BD⊥AC，利用已知條件求出圓內(nèi)接三角形BDE的邊長(zhǎng)，即可求出△BDE的面積．

解答 解：如圖所示：連接BE，
∵等邊三角形ABC，
∴∠1=∠C=60°，
∵AE∥BC，
∴∠CAE+∠C=180°，
∴∠CAE=∠1+∠2=180°-∠C=120°，
∴∠1=∠2=60°，
∵∠1=4；∠2=∠3（同弧圓周角相等），
∴∠3=∠4=∠1=∠2=60°，
∴△BDE是等邊三角形；
當(dāng)⊙O的半徑最小時(shí)△BDE的面積的最小，當(dāng)AB是⊙O的直徑時(shí)，⊙O的半徑最小=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
此時(shí)BD⊥AC，
∴DE=BD=AB•sin∠1=5×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$，
∴△BDE的面積的最小值=$\frac{1}{2}$×$\frac{5\sqrt{3}}{2}$×$\frac{5\sqrt{3}}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{75\sqrt{3}}{8}$．
故答案為$\frac{75\sqrt{3}}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了和圓有關(guān)的綜合性題目，用到的知識(shí)點(diǎn)有：等邊三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理、平行線的性質(zhì)以及特殊角的銳角三角函數(shù)值，證得△BDE是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．