Question

6．已知：如圖，平行四邊形ACBD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)CD至F，使DF=CD，連接BF交AD于點(diǎn)E．
（1）求證：四邊形ABDF是平行四邊形；
（2）若AB=BC=5．??
①求∠CAF的度數(shù)；?
②若BD=8，則△ABF的面積為12．??

Answer 1

分析 （1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AB∥CD，AB=CD，再證出AB=DF，即可得出四邊形ABDF是平行四邊形；
（2）首先證明四邊形ABCD是菱形，再用菱形的性質(zhì)可得到AC⊥BD，再根據(jù)兩直線(xiàn)平行，同位角相等得到∠CAF=∠COD=90°；
（3）由勾股定理求出OA，得出AC，△ABF的面積=$\frac{1}{2}$菱形ABCD的面積，即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD．
∵DF=CD，
∴AB∥DF．
∵DF=CD，
∴AB=DF．
∴四邊形ABDF是平行四邊形．
（2）解：①∵四邊形ABCD是平行四邊形，且AB=BC，
∴四邊形ABCD是菱形．
∴AC⊥BD．
∴∠COD=90°．
∵四邊形ABDF是平行四邊形，
∴AF∥BD．
∴∠CAF=∠COD=90°；
②∵四邊形ABCD是菱形，
∴OA=OC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=4，AC⊥BD，
∴OA=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
∴AC=2OA=6，
∴△ABF的面積=$\frac{1}{2}$菱形ABCD的面積=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×8×6=12；
故答案為：12．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的判定方法與性質(zhì)．