Question

如圖，在△ABC中，AC=BC，AB是⊙C的切線，切點為D，直線AC交⊙C于點E、F，且CF=

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2

AC．
（1）求∠ACB的度數(shù)；
（2）若AC=6，求BF的長．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：計算題

分析：（1）連結(jié)CD，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得CD⊥AB，再利用扥國藥三角形的性質(zhì)得到∠ACB=∠BCD，由于CF=

1

2

AC，CF=CD，則CD=

1

2

AC，于是根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到∠A=30°，所以∠ACD=60°，于是可得∠ACB=120°；
（2）利用鄰補角得到∠BCF=60°，則∠BCF=∠BCD，再證明△BCD≌△BCF得到∠BFC=∠BDC=90°，BF=BD，所以BF=AD，然后在Rt△ACD中根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可計算出AD，從而得到BF的長．

解答：解：（1）連結(jié)CD，如圖，
∵AB是⊙C的切線，
∴CD⊥AB，
而CA=CB，
∴CD平分∠ACB，
即∠ACB=∠BCD，
∵CF=

1

2

AC，
而CF=CD，
∴CD=

1

2

AC，
∴∠A=30°，
∴∠ACD=60°，
∴∠ACB=2∠ACD=120°；
（2）∵∠BCF=180°-∠ACB=60°，
∴∠BCF=∠BCD，
在△BCD和△BCF中，

CD=CF ∠BCD=∠BCF BC=BC

∴△BCD≌△BCF，
∴∠BFC=∠BDC=90°，BF=BD，
∴BF=AD，
在Rt△ACD中，∵∠A=30°，AC=6，
∴CD=

1

2

AC=3，
∴AD=

3

CD=3

3

，
∴BF=3

3

．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．