Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-2x+8與x軸的正半軸交于點(diǎn)A，與y軸的正半軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上，∠CBA=∠CAB．
（1）求直線BC的解析式；
（2）點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿線段BC向C點(diǎn)運(yùn)動，點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)，沿x軸正方向運(yùn)動，兩點(diǎn)同時出發(fā)，速度均為1個單位/秒，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)C點(diǎn)時，兩點(diǎn)停止運(yùn)動，連結(jié)PQ，交直線AB于點(diǎn)D，過點(diǎn)P作PE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒，求在運(yùn)動過程中線段DE的長；
（3）在（2）的條件下，作△PED的外接圓⊙G，求t為何值時，它與△ABC的一邊相切．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)解析式，可得函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理，可得AB的長，根據(jù)等腰三角形的判定，可得AC與BC的關(guān)系，根據(jù)解方程，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)等腰三角形的判定，可得AB與BC的關(guān)系，根據(jù)線段的和差，可得AF=PB=t=AQ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得

PF

AB

=

PC

BC

，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得

PB

AB

=

BE

AO

，根據(jù)線段的和差，可得答案；
（3）根據(jù)切割線的性質(zhì)，可得PB²=BE•BD，根據(jù)解方程，可得答案．

解答：解：（1）A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，8），AB=

42+82

=4

5

，
∵∠CBA=∠CAB，
∴AC=BC，設(shè)OC=m，
∴BC=

m2+64

，AC=m+4，
∴

m2+64

=m+4，解得m=6，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（-6，0）
∴BC的解析式為y=

4

3

x+8；
（2）過P作PF∥AB交x軸于F，
∵∠CBA=∠CAB，
∴AC=BC，
∴AF=PB=t=AQ，
∴AD為△PQF中位線，
∵PB=AQ=t，
∴PC=BC-PB=10-t，
∵

PF

AB

=

PC

BC

即

PF

4 5

=

10-t

10

∴
PF=

2 5 (10-t)

5

∴AD=

5 (10-t)

5

，Rt△PBE∽Rt△BAO，
∴

PB

AB

=

BE

AO

BE=

PB×AO

AB

=

4t

4 5

=

5

5

t
∴DE=AB-BE-AD=4

5

-

5

5

t-

5 (10-t)

5

=2

5

；
（3）當(dāng)⊙G與BC相切時，PB²=BE•BD，即t²=

5 t

5

×（

5 t

5

+2

5

）解得t₁=

5

2

，t₂=0（不符題意舍去）．

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)的綜合題，利用了勾股定理，待定系數(shù)法求解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，切割線定理．