Question

2．如圖，反比例函數(shù)y=$\frac{{k}_{1}}{x}$的圖象與一次函數(shù)y=k₂x+b的圖象交于點P（m，-1）和Q（1，2）兩點，記一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點分別為A，B，連接OP，OQ．
（1）求兩函數(shù)的解析式；
（2）求證：△POB≌△QOA．

Answer 1

分析 （1）將已知的點Q的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)，求得比例系數(shù)k₁的值，得到反比例函數(shù)解析式；再將點P的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)，求得m的值，最后將點P和點Q的坐標(biāo)代入一次函數(shù)，求得k₂和b的值，得到一次函數(shù)解析式；
（2）先根據(jù)一次函數(shù)求得直線與與坐標(biāo)軸的交點A、B的坐標(biāo)，進而根據(jù)OA和OB的長相等，得到∠QAO=∠PBO；再根據(jù)點P、Q的坐標(biāo)，求得OP與OQ的長，根據(jù)OP與OQ的長相等，得到∠BPO=∠AQO，最后根據(jù)AAS得到△POB≌△QOA．

解答 解：（1）將Q（1，2）代入反比例函數(shù)$y=\frac{{k}_{1}}{x}$，得k₁=2
∴反比例函數(shù)的解析式為$y=\frac{2}{x}$
將P（m，-1）代入反比例函數(shù)$y=\frac{2}{x}$，得m=-2
∴P（-2，-1）
將P（-2，-1）和Q（1，2）代入一次函數(shù)y=k₂x+b，得
$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}+b=2}\\{-2{k}_{2}+b=-1}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=1}\\{b=1}\end{array}\right.$
∴該一次函數(shù)的解析式為y=x+1
（2）∵y=x+1，當(dāng)x=0時，y=1；當(dāng)y=0時，x=-1
∴A（-1，0），B（0，1）
∴OA=OB
∴∠QAO=∠PBO
∵OP=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，OQ=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$
∴OP=OQ
∴∠BPO=∠AQO
∴△POB≌△QOA（AAS）

點評 本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點以及全等三角形的判定，解決問題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．當(dāng)有兩個函數(shù)的時候，著重使用兩函數(shù)的交點坐標(biāo)以及直線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，綜合性較強．本題也可以運用SSS判定兩個三角形全等．