Question

15．如圖①，直線l₁、l₂相交于點(diǎn)O，長為2的線段AB在直線l₂上，點(diǎn)P是直線l₁上一點(diǎn)，且∠APB=30°．
（1）請?jiān)趫D①中作出符合條件的點(diǎn)P（不寫畫法，保留作圖痕跡）；
（2）若直線l₁、l₂的夾角為60°，線段AB在直線l₂上左右移動(dòng)．
①當(dāng)OA的長為多少時(shí)，符合條件的點(diǎn)P有且只有一個(gè)？請說明理由；
②是否存在符合條件的點(diǎn)P有三個(gè)的情況？若存在，求出OA的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用圓周角定理進(jìn)而得出符合條件的點(diǎn)P；
（2）①利用當(dāng)直線l₁與⊙C相切于點(diǎn)P，且A在O的右側(cè)時(shí)以及當(dāng)直線l₁與⊙C相切于點(diǎn)P，且A在O的左側(cè)時(shí)分別得出符合題意的答案；
②利用當(dāng)直線l₁與⊙C₁相交于點(diǎn)P₁、P₂，與⊙C₂相切于點(diǎn)P₃時(shí)，當(dāng)直線l₁與⊙C₁相切于點(diǎn)P₁，與⊙C₂相交于點(diǎn)P₂、P₃時(shí)，分別得出即可．

解答 解：（1）如圖①：

以AB為邊在x軸上方作等邊三角形ABC，以C為圓心，AB長為半徑作圓，
與直線l₁有兩個(gè)交點(diǎn)P₁、P₂，則P₁、P₂是符合條件的點(diǎn)；

（2）①如備用圖①，

當(dāng)直線l₁與⊙C相切于點(diǎn)P，且A在O的右側(cè)時(shí)，則∠APB=30°
連接CP，過A作AD⊥l₁于D
則AD=CP=2，∴OA=$\frac{AD}{sin60°}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，
如備用圖②，

當(dāng)直線l₁與⊙C相切于點(diǎn)P，且A在O的左側(cè)時(shí)，則∠APB=30°
連接CP，過B作BE⊥l₁于E，
則BE=CP=2，∴OB=$\frac{BE}{sin60°}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，
∴OA=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$+2，
綜上所述，當(dāng)A在O的右側(cè)，OA=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$或A在O的左側(cè)，OA=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$+2時(shí)符合條件的點(diǎn)P有且只有一個(gè)；

②存在，
如備用圖③，

當(dāng)直線l₁與⊙C₁相交于點(diǎn)P₁、P₂，與⊙C₂相切于點(diǎn)P₃時(shí)，連接C₂P₃，
過O作OF⊥BC₂于F，則OF=C₂P₃=2，
∴OB=$\frac{BE}{sin60°}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，
∴OA=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$-2，
如備用圖④，

當(dāng)直線l₁與⊙C₁相切于點(diǎn)P₁，與⊙C₂相交于點(diǎn)P₂、P₃時(shí)，連接C₁P₁，過A作AG⊥l₁于G
則AG=C₁P₁=2，∴OA=$\frac{AG}{sin60°}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，
綜上所述，當(dāng)A在O的右側(cè)，OA=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$-2或A在O的左側(cè)，OA=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$時(shí)，符合條件的點(diǎn)P有三個(gè)．

點(diǎn)評 此題主要考查了圓的綜合以及圓周角定理和切線的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，利用分類討論以及數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．