Question

11．如圖，已知平行四邊形ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE，BF相交于H，BF，AD的延長(zhǎng)線相交于G，下面結(jié)論：①DB=$\sqrt{2}$BE；②∠A=∠BHE；③AB=BH．其中正確的結(jié)論是（　�。�

• A． ①②③
• B． ①②
• C． ②③
• D． ①③

Answer 1

分析 求出BE=DE，由勾股定理得出BD²=DE²+BE²，即可判斷①；求出∠DHF=∠C，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB=CD，∠A=∠C，即可判斷②；證△BHE≌△DCE，推出BH=DC，根據(jù)AB=CD即可判斷③．

解答 解：∵DE⊥BC，
∴∠DEB=90°，
∵∠DBC=45°，
∴∠BDE=45°=∠DBE，
∴BE=DE，
由勾股定理得：BD²=DE²+BE²，
即BD=$\sqrt{2}$DE，∴①正確；
∵DE⊥BC，BF⊥CD，
∴∠DEC=∠HFD=90°，
∴∠DHF+∠EDC=90°，∠EDC+∠C=90°，
∴∠DHF=∠C，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，∠A=∠C，
∵∠DHF=∠BHE，
∴∠A=∠BHE，∴②正確；
在△BHE和△DCE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠HBE=∠EDC}\\{BE=DE}\\{∠BEH=∠DEC}\end{array}\right.$，
∴△BHE≌△DCE，
∴BH=DC，
∵AB=CD，
∴BH=AB，∴③正確；
故選A

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度．