Question

18．已知，如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，BC=11，CD=6，tan∠ABC=2，點(diǎn)E在AD邊上，且AE=3ED，EF∥AB交BC于點(diǎn)F，點(diǎn)M、N分別在射線FE和線段CD上．
（1）求線段CF的長；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在線段FE上，且AM⊥MN，設(shè)FM•cos∠EFC=x，CN=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；
（3）如果△AMN為等腰直角三角形，求線段FM的長．

Answer 1

分析 （1）過A作AH⊥BC，于是得到AH=CD=6，解直角三角形即可得到結(jié)論；
（2）過M作MP⊥CD于P，MK⊥BC于K，反向延長KM交AD于Q，則KQ⊥AD，解直角三角形求得MK=2x=PC，NP=y-2x，MP=CK=5-x=QD，于是得到AQ=8-（5-x）=3+x，QM=6-2x，推出△AMQ∽△PMN，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列方程即可得到結(jié)論；
（3）①當(dāng)M在線段EF上時，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等量代換得到QM=MP，列方程得到6-2x=5-x，解方程即可得到結(jié)論；②當(dāng)M在FE的延長線上時，根據(jù)已知條件得到△AQM≌△MNH，由全等三角形的性質(zhì)得到AQ=MH，由（2）知FK=x，CK=5-x=MH，MK=2x=CH，列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）過A作AH⊥BC，
∴AH=CD=6，
∵tan∠ABC=2，
∴$\frac{AH}{BH}=2$，
∴BH=3，
∴CH=AD=8，
∴AE=$\frac{3}{4}×AD=6=BF$，
∴CF=5；

（2）過M作MK⊥BC于K，反向延長KM交AD于Q，則KQ⊥AD，在Rt△FMK中，F(xiàn)M•cos∠EFC=FK=x，
∵∠EFC=∠B，
∴tan∠EFC=2，
∴MK=2x=PC，NP=y-2x，MP=CK=5-x=QD
，∴AQ=8-（5-x）=3+x，QM=6-2x，
∵∠AMN=90°，
∵∠AMQ=∠PMN，∠AQM=∠MPN=90°，
∴△AMQ∽△PMN，
∴$\frac{AQ}{NP}=\frac{QM}{MP}，即\frac{3+x}{y-2x}=\frac{6-2x}{5-x}$，
解得：y=$\frac{5{x}^{2}-14x-15}{2x-6}$（0≤x≤1）；

（3）①當(dāng)M在線段EF上時，
∵AM=MN，△AMQ≌△NMP，
∴△AMQ≌△NMP，
∴QM=MP，
∴6-2x=5-x，
∴x=1，
∴FM=$\frac{1}{cos∠B}=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{5}}}=\sqrt{5}$，
②當(dāng)M在FE的延長線上時，
∵∠AMN=90°，
∴∠AMQ+∠NMH=∠NMH+∠MNH=90°，
∴∠AMQ=∠MNH，
在△AMQ與△NMH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠Q=∠H=90°}\\{∠AMQ=∠NMH}\\{AM=MN}\end{array}\right.$，
∴△AQM≌△MNH，
∴AQ=MH，由（2）知FK=x，CK=5-x=MH，MK=2x，=CH，
∴AQ=DH=2x-6，∴2x-6=5-x，∴$x=\frac{11}{3}$，
∴FM=$\frac{\frac{11}{3}}{\frac{1}{\sqrt{5}}}$=$\frac{11}{3}\sqrt{5}$，

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，求函數(shù)的解析式，證明△AQM≌△MNH是解題的關(guān)鍵．