Question

如圖，∠AOB=45°，角內一點P，PO=10，兩邊上各有點Q，R（均不同于O），則△PQR的周長的最小值為

 

．當△PQR取最小值時，∠QRP=

 

．

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：根據軸對稱圖形的性質，作出P關于OA、OB的對稱點M、N，連接AB，根據兩點之間線段最短得到最小值線段，再構造直角三角形，利用勾股定理求出MN的值即可．
根據對稱的性質求得∠OMN+∠ONM=∠OPQ+∠OPR，即可求得∠QPR的度數．

解答：解：分別作P關于OA、OB的對稱點M、N．
連接MN交OA、OB交于Q、R，則△PQR符合條件．
連接OM、ON，
則OM=ON=OP=10，
∠MON=∠MOP+∠NOP=2∠AOB=2×45°=90°，
故△MON為等腰直角三角形．
∴MN=

102+102

=10

2

．
根據對稱的性質得到∠OMN=∠OPQ，∠ONM=∠OPR，
∴∠OMN+∠ONM=∠OPQ+∠OPR，
∵△MON為等腰直角三角形，
∴∠OMN+∠ONM=90°，
∴∠OPQ+∠OPR=90°，
即∠QPR=90°．
故答案為10

2

，90°．

點評：此題考查了軸對稱最短路徑問題，根據題意構造出對稱點，轉化為直角三角形的問題是解題的關鍵．