Question

16．如圖，AB⊥x軸于點B（8，0），$sin∠AOB=\frac{3}{5}$，反比例函數(shù)$y=\frac{m}{x}$與OA、AB分別相交于點D、C，且點D為OA的中點，
（1）求反比例函數(shù)的解析式
（2）過點B的直線$y=\frac{3}{5}x+n$與反比例函數(shù)$y=\frac{m}{x}$圖象交于第三象限內(nèi)一點F，求四邊形OABF的面積．

Answer 1

分析 （1）過點D作DM⊥x軸，通過正弦函數(shù)得出AB的長，即可得出A的坐標(biāo)，進(jìn)而得出D的坐標(biāo)，代入$y=\frac{m}{x}$根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
（2）易求得直線BF的解析式，然后聯(lián)立方程求得F的坐標(biāo)，過點F作FN⊥x軸，根據(jù)S_{四邊形OFBA}=S_△AOB+S_△BOF求得即可．

解答 解：（1）過點D作DM⊥x軸，
∵B（8，0），$sin∠AOB=\frac{3}{5}$，
∴AB=6，A（8，6），
又點D為OA的中點，
∴D（4，3），
∴反比例函數(shù)的解析式為$y=\frac{12}{x}$；
（2）∵直線$y=\frac{3}{5}x+n$過B點，
∴0=$\frac{3}{5}$×8+n，解得n=-$\frac{24}{5}$，
∴BF的解析式為$y=\frac{3}{5}x-\frac{24}{5}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{5}x-\frac{24}{5}}\\{y=\frac{12}{x}}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴F（-2，-6），
過點F作FN⊥x軸，則S_{四邊形OFBA}=S_△AOB+S_△BOF=48．

點評 此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，銳角三角函數(shù)定義，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用了待定系數(shù)法，待定系數(shù)法是常用的一種解題方法．同學(xué)們要熟練掌握這種方法．