Question

16．如圖，在菱形ABCD中，分別過B、D作對邊的垂線，垂足分別為E、F、G、H．若四邊形EFGH的面積與菱形ABCD的面積之比為4：9，則sinA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$或$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

Answer 1

分析 連接BD．∵BE⊥AD，DH⊥AB，首先證明四邊形EFGH是矩形，設(shè)AB=BC=CD=AD=x，則AE=AH=x•cosA，由$\frac{EH}{BD}$=$\frac{AH}{AB}$，推出EH=BD•cosA，同法可得EF=AC•（1-cosA），由$\frac{{S}_{矩形EFGH}}{{S}_{菱形ABCD}}$=$\frac{EF•EH}{\frac{1}{2}•AC•BD}$=$\frac{4}{9}$，可得$\frac{AC•BD•cosA（1-cosA）}{\frac{1}{2}•AC•BD}$=$\frac{4}{9}$，整理得9coc²A-9cosA+2=0，求出cosA即可解決問題．

解答 解：連接BD．∵BE⊥AD，DH⊥AB，
∴∠AEB=∠AHD=90°，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，
在△ADH和△AEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AHD=∠AEB}\\{∠A=∠A}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△ADH≌△ABE，
∴AE=AH．
∴∠AEH=∠AHE，
∵∠ADH=∠ABD，
∴∠A+2∠AEH=180°，∠A+2∠ADB=180°，
∴∠AEH=∠ADB，
∴EH∥BD，同理可證FG∥BD，
∴EH∥FG，同理可得EF∥GH，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
∵AC⊥BD，EF∥AC
∴EF⊥BD，∵EH∥BD，
∴EF⊥EH，
∴∠HEF=90°，
∴四邊形EFGH是矩形，
設(shè)AB=BC=CD=AD=x，則AE=AH=x•cosA，
∵$\frac{EH}{BD}$=$\frac{AH}{AB}$，
∴EH=BD•cosA，同法可得EF=AC•（1-cosA），
∵$\frac{{S}_{矩形EFGH}}{{S}_{菱形ABCD}}$=$\frac{EF•EH}{\frac{1}{2}•AC•BD}$=$\frac{4}{9}$，
∴$\frac{AC•BD•cosA（1-cosA）}{\frac{1}{2}•AC•BD}$=$\frac{4}{9}$，
整理得9coc²A-9cosA+2=0，
解得cosA=$\frac{1}{3}$或$\frac{2}{3}$，
∴sinA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$或$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
故答案為$\frac{2\sqrt{2}}{3}$或$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

點評 本題考查菱形的性質(zhì)、矩形的判定、解直角三角形、銳角三角函數(shù)、一元二次方程等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題，學(xué)會構(gòu)建方程，把問題轉(zhuǎn)化為方程解決，屬于中考填空題中的壓軸題．