Question

設(shè)a，b，c，d是正整數(shù)，a，b是方程x²-（d-c）x+cd的兩個(gè)根．證明：存在邊長(zhǎng)是整數(shù)且面積為ab的直角三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：根與系數(shù)的關(guān)系,因式分解的應(yīng)用,三角形三邊關(guān)系

專題：證明題

分析：首先利用根與系數(shù)的關(guān)系求得a+b=d-c，ab=cd．然后由三角形三邊關(guān)系證得存在以（a+b），（a+c），（b+c）為邊的三角形；然后由（a+c）²+（b+c）²=（a+b）²
推知該三角形是直角三角形，則：S=

1

2

（a+c）（b+c）=

1

2

[ab+c（a+b+c）]=

1

2

（ab+cd）=ab．故邊長(zhǎng)為（a+b），（a+c），（b+c）的三角形符合題設(shè)要求．

解答：證明：由題設(shè)可知a+b=d-c，ab=cd．
∵a，b，c，d是正整數(shù)，
∴（a+b），（a+c），（b+c）任意兩數(shù)之和大于第三個(gè)數(shù)，從而存在以（a+b），（a+c），（b+c）為邊的三角形．
∵（a+c）²+（b+c）²
=a²+b²+2c²+2c（a+b）
=a²+b²+2cd
=a²+b²+2ab
=（a+b）²
∴這樣的三角形是直角三角形，其直角邊長(zhǎng)為（a+c），（b+c），斜邊長(zhǎng)為（a+b），且該三角形的面積為：S=

1

2

（a+c）（b+c）=

1

2

[ab+c（a+b+c）]=

1

2

（ab+cd）=ab．
故邊長(zhǎng)為（a+b），（a+c），（b+c）的三角形符合題設(shè)要求．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了根與系數(shù)關(guān)系，因式分解的應(yīng)用以及三角形三邊關(guān)系．此題難度較大．