Question

5．定義：在平行四邊形中，若有一條對角線是一邊得兩倍，則稱這個(gè)平行四邊形為兩倍四邊形，其中這條對角線叫做兩倍對角線，這條邊叫做兩倍邊．
如圖1，四邊形ABCD是平行四邊形，BE∥AC，延長DC交BE于點(diǎn)E，連結(jié)AE交BC于點(diǎn)F，AB=1，AD=m．
（1）若∠ABC=90°，如圖2．
①當(dāng)m=2時(shí)，試說明四邊形ABEC是兩倍四邊形；
②是否存在值m，使得四邊形ABCD是兩倍四邊形，若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由；
（2）如圖1，四邊形ABCD與四邊形ABEC都是兩倍四邊形，其中BD與AE為兩倍對角線，AD與AC為兩倍邊，求m的值．

Answer 1

分析 （1）①由平行四邊形的性質(zhì)得出AB∥DE，證出四邊形ABEC是平行四邊形，求出BC=2AB，即可得出四邊形ABEC是兩倍四邊形；
②當(dāng)AC=2CD時(shí)，四邊形ABCD是兩倍四邊形，此時(shí)AD=m=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$；當(dāng)AC=2AD時(shí)，四邊形ABCD是兩倍四邊形，由勾股定理得出方程m²+1²=（2m）²，解方程即可；
（2）由兩邊四邊形的定義得出AD=DG，得出∠DAG=∠AGD，同理AC=AF，得出∠ACF=∠AFC，證出∠ADG=∠CAF，$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AC}{AE}$，得出△ADB∽△ACE，由AB=CE，得出△ADB≌△ACE，由全等三角形的性質(zhì)得出AC=AD，作DM⊥AC于M，設(shè)AM=x，則AC=AD=4x，由勾股定理得：DM=$\sqrt{15}$x，CD=2$\sqrt{6}$x，由CD=AB=1得出方程，解方程即可．

解答 （1）①證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DE，
∵BE∥AC，
∴四邊形ABEC是平行四邊形，
∵AB=1，BC=m=2，
∴BC=2AB，
∴四邊形ABEC是兩倍四邊形；
②解：存在，理由如下：
當(dāng)AC=2CD時(shí)，四邊形ABCD是兩倍四邊形，此時(shí)AD=m=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$；
當(dāng)AC=2AD時(shí)，四邊形ABCD是兩倍四邊形，
則有m²+1²=（2m）²，
解得：m=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$（負(fù)值舍去），
∴m=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∴m的值為$\sqrt{3}$或$\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)，四邊形ABCD是兩倍四邊形；

（2）解：∵四邊形ABCD是兩倍四邊形，BD為兩倍對角線，AD為兩倍邊，
∴AD=DG，
∴∠DAG=∠AGD，
∵四邊形ABEC是兩倍四邊形，AE為兩倍對角線，AC為兩倍邊，
∴AC=AF，
∴∠ACF=∠AFC，
又∵∠DAG=∠ACF，
∴∠DAG=∠AGD=∠ACF=∠AFC，
∴∠ADG=∠CAF，
又∵$\frac{AD}{BD}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{AC}{AE}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{AD}{BD}$=$\frac{AC}{AE}$，
∴△ADB∽△ACE，
又∵AB=CE，
∴相似比為1，
∴△ADB≌△ACE，
∴AC=AD，
作DM⊥AC于M，如圖1所示：
設(shè)AM=x，則AC=AD=4x，
在Rt△ADM中，由勾股定理得：DM=$\sqrt{15}$x，
在Rt△DMC中，由勾股定理得：CD=2$\sqrt{6}$x，
∵CD=AB=1，
∴2$\sqrt{6}$x=1，
∴x=$\frac{\sqrt{6}}{12}$，
∴AD=4x=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
即m=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評 本題是四邊形綜合題目，考查了平行四邊形的性質(zhì)、兩倍四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度．