Question

一個圓錐的底面半徑為3cm，高位3

3

cm，求：
（1）圓錐的軸截面中，兩母線所夾角（錐角）的度數(shù)；
（2）圓錐的全面積；
（3）側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)．

Answer 1

考點：圓錐的計算

專題：

分析：（1）如圖，△ABC為圓錐的軸截面AO為圓錐的高，OB=OC=3，AO=3

3

，先利用勾股定理計算出AC=6，則AB=6，則可判斷△ABC為等邊三角形，所以∠BAC=60°；
（2）根據(jù)上題求得的圓錐的母線長后計算出側(cè)面積和底面積即可求得圓錐的全面積；
（3）根據(jù)圓錐的底面周長等于圓錐的側(cè)面展開圖的弧長，首先求得展開圖的弧長，然后根據(jù)弧長公式即可求解．

解答：解：（1）如圖，△ABC為圓錐的軸截面，AO為圓錐的高，
OB=OC=3，AO=3

3

，
在Rt△AOC中，AC=

OC2+AO2

=6，
所以AB=AC=6，
而BC=6，
所以△ABC為等邊三角形，
所以∠BAC=60°，
即圓錐軸截面中兩母線所夾角的度數(shù)為60°．

（2）圓錐的全面積=圓錐的側(cè)面積+圓錐的底面積=π×3×6+π×3²=18π+9π=27πcm²；

（3）圓錐側(cè)面展開圖的弧長是：2π×3=6π（cm），
設(shè)圓心角的度數(shù)是n度．則

nπ×6

180

=6π，
解得：n=180．

點評：本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．