Question

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+6分別交x軸，y軸于點A、B，對稱軸為直線x=4的拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A、B兩點，與x軸交于另一點C．點P是直線AB上的動點，點Q是拋物線上的動點．
（1）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)的關(guān)系式及頂點M的坐標(biāo)；
（2）將拋物線在x軸下方的部分沿著x軸翻折，點M的對應(yīng)點為M′，判斷點M′是否落在直線AB上，并說明理由．
（3）在（2）的條件下，是否存在點P，使以點P、Q、M、M′為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（4）若△QAB是以AB為底邊的等腰三角形，請直接寫出點Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先求出A、B兩點坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法列出方程組即可解決問題．
（2）求出點M（4，-2）關(guān)于x軸的對稱點M′（4，2），由此即可判斷．
（3）分兩種情形討論①當(dāng)以MM′為四邊形的對角線時，因為MM′與AC相互垂直平分，四邊形CMAM′是平行四邊形，此時P、Q分別于A、C重合．②當(dāng)以MM′為邊時，要使以點P、Q、M、M′為頂點的四邊形是平行四邊形，只要PQ∥MM′，PQ=MM′，由此列出方程即可解決問題．
（4）由題意點Q在AB的垂直平分線上，求出線段AB的中垂線的解析式，解方程組即可解決問題．

解答 解：（1）∵直線y=-x+6分別交x軸，y軸于點A、B，
∴A（6，0），B（0，6），
由題意$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2a}=4}\\{c=6}\\{36a+6b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-4}\\{c=6}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-4x+6．
∴頂點M（4，-2）．

（2）∵點M（4，-2）關(guān)于x軸的對稱點M′（4，2），
對于直線y=-x+6，x=4時，y=2，
∴點M′在直線AB上．

（3）存在，
當(dāng)以MM′為四邊形的對角線時，
∵M(jìn)M′與AC相互垂直平分，
∴四邊形CMAM′是平行四邊形，此時P、Q分別于A、C重合
∴P（6，0）
當(dāng)以MM′為邊時
要使以點P、Q、M、M′為頂點的四邊形是平行四邊形
∴PQ∥MM′，PQ=MM′
∵P、Q是直線AB和（1）拋物線上的動點
∴P、Q的坐標(biāo)分別為（m，-m+6）（m，$\frac{1}{2}$m²-4m+6）
∴PQ=MM′=4
∴|$\frac{1}{2}$m²-4m+6-（-m+6）|=4，
∴$\frac{1}{2}$m²-3m=±4，
當(dāng)$\frac{1}{2}$m²-3m=-4時，m=2或4，
m=4時，P與M′重合，不合題意舍棄，
∴m=2，點P（2，4）．
當(dāng)$\frac{1}{2}$m²-3m=4時，m=3+$\sqrt{17}$或3-$\sqrt{17}$，
∴點P（3+$\sqrt{17}$，3-$\sqrt{17}$）或（3-$\sqrt{17}$，3+$\sqrt{17}$）．
綜上所述，滿足條件的點P坐標(biāo)為（2，4）或（3+$\sqrt{17}$，3-$\sqrt{17}$）或（3-$\sqrt{17}$，3+$\sqrt{17}$）．

（4）由題意點Q在AB的垂直平分線上，
∵A（6，0），B（0，6），
∴AB的中點為（3，3），
∴AB的中垂線的解析式為y=x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}-4x+6}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=5-\sqrt{13}}\\{y=5-\sqrt{13}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=5+\sqrt{13}}\\{y=5+\sqrt{13}}\end{array}\right.$，
∴點Q的坐標(biāo)為（5-$\sqrt{13}$，5-$\sqrt{13}$）或（5+$\sqrt{13}$，5+$\sqrt{13}$）．

點評 本題考查二次函數(shù)綜合題、平行四邊形的判定和性質(zhì)、一次函數(shù)、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會用方程的思想思考問題，屬于中考壓軸題．