Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²+（m+3）x+m+1=0．
（1）求證：無(wú)論m取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若x₁、x₂是原方程的兩根，且|x₁-x₂|=2

2

，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：

分析：（1）先求出△的值，再通過(guò)配方得出△＞0，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)x₁、x₂是原方程的兩根，得出x₁+x₂=-m-3，x₁x₂=m+1，再根據(jù)|x₁-x₂|=2

2

，得出（x₁-x₂）²=8，再根據(jù)（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂，代入計(jì)算即可．

解答：解：（1）∵△=（m+3）²-4（m+1）=m²+2m+5=（m+1）²+4＞0，
∴無(wú)論m取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）∵x₁、x₂是原方程的兩根，
∴x₁+x₂=-m-3，x₁x₂=m+1，
∵|x₁-x₂|=2

2

，
∴（x₁-x₂）²=8，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=8，
∴（-m-3）²-4（m+1）=8，
∴m₁=1，m₂=-3．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一元二次方程根的判別式，掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；△＜0?方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．