Question

19．請(qǐng)先閱讀下列一組內(nèi)容，然后解答問(wèn)題：
因?yàn)椋?\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$…$\frac{1}{9×10}$=$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{10}$
所以：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{9×10}$
=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{10}$）
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{10}$
=1-$\frac{1}{10}$=$\frac{9}{10}$
解答下面的問(wèn)題：
（1）若n為正整數(shù)，請(qǐng)你猜想$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；
（2）利用你的結(jié)論求：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2011×2012}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題目中的信息，發(fā)現(xiàn)分母是兩個(gè)連續(xù)的自然數(shù)的積，等于這兩個(gè)數(shù)倒數(shù)的差，即$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；
（2）根據(jù)題目中的信息，可以計(jì)算出所求式子的結(jié)果．

解答 解：（1）由題意可得，$\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
故答案為：$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$；
（2）$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2011×2012}$，
=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2012}$，
=1-$\frac{1}{2012}$，
=$\frac{2011}{2012}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是數(shù)字類的規(guī)律題，考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵弄清：$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，確立每個(gè)式子的兩邊是否相等，并找出所求式子中互為相反數(shù)的式子．