Question

6．實驗與探究
操作發(fā)現(xiàn)：
如圖（1）某數(shù)學活動小組的同學將正方形A′B′C′O的頂點O與正方形ABCD的中心重合，將正方形A′B′C′O繞點O做旋轉(zhuǎn)實驗，發(fā)現(xiàn)了如下數(shù)學問題：
如圖（2），在四邊形ABCD中，若AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，則BC、CD、AC具有一定的數(shù)量關系：BC+CD=$\sqrt{2}$AC．
數(shù)學思考：
（1）請你寫出圖（2）中數(shù)學活動小組的同學發(fā)現(xiàn)的結(jié)論：BC+CD=AC．（不要求說理或證明）
（2）如圖（3），在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，則BC、CD、AC具有怎樣的數(shù)量關系，請給出證明過程．
拓展探究：
如圖（4），在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=180°，且BD=kAB，則BC、CD、AC具有怎樣的數(shù)量關系？請說明理由．

Answer 1

分析 （1）構造全等三角形，根據(jù)鄰補角的定義，判斷出三角形全等，由△ABD，△BCD為直角三角形，根據(jù)勾股定理簡單計算即可．
（2）構造全等三角形，根據(jù)鄰補角的定義，判斷出三角形全等，在判斷出△AHC為等邊三角形即可，
拓展探究：構造全等三角形，從而得出BH=CD，AC=AH，∠BAH=∠DAC，再根據(jù)兩邊對應成比例，夾角相等判斷出三角形相似，得出$\frac{HC}{AH}=\frac{BD}{AB}$從而得出結(jié)論，

解答 數(shù)學思考：（1）故答案為BC+CD=$\sqrt{2}$AC，
（2）BC+CD=AC，

理由：延長CB到H，使BH=CD．
∵∠BAD+∠BCD=60°+120°=180°
∴∠ABC+∠ADC=180°
又∵∠ABH+∠ABC=180°
∴∠ABH=∠ADC
又∵AB=AD
∴△ABH≌△ADC
∴BH=CD，AC=AH，∠BAH=∠DAC
∴∠HAC=∠BAD=60°
∴△AHC為等邊三角形
∴BC+CD=BC+BH=AC．
故答案為BC+CD=AC．
拓展探究：
BC+CD=kAC
理由：延長CB到H，使BH=CD．

∵∠BAD+∠BCD=180°
∴∠ABC+∠ADC=180°
又∵∠ABH+∠ABC=180°
∴∠ABH=∠ADC
又∵AB=AD
∴△ABH≌△ADC
∴BH=CD，AC=AH，∠BAH=∠DAC
∴∠HAC=∠BAD，$\frac{AH}{AC}=\frac{AB}{AD}$，
∴△AHC∽△ABD
∴$\frac{HC}{AH}=\frac{BD}{AB}$=k，
∴HC=kAH=kAC，
∴BC+CD=kAC．

點評 本題是四邊形的綜合題，涉及到全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定，如：由BH=CD，AC=AH，∠BAH=∠DAC得出∠HAC=∠BAD，$\frac{AH}{AC}=\frac{AB}{AD}$，從而△AHC∽△ABD得到$\frac{HC}{AH}=\frac{BD}{AB}$，勾股定理，等邊三角形的判斷方法，解本題的關鍵是構造全等三角形△ABH≌△ADC，本體的難點是作輔助線．