Question

12．如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=20，AD⊥BC于D，點P，Q在BC邊上，點R在AC邊上，點S在AB邊上，四邊形PQRS是正方形，則正方形PQRS的邊長為$\frac{20}{3}\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由題意得SR∥BC，故∠ARS=∠B；而∠SAR=∠BAC，即可證明△ARS∽△ABC．設(shè)出正方形的邊長為x，則設(shè)SR=RP=x，表示出AE=10$\sqrt{2}$-x；根據(jù)△ASR∽△ABC，列出關(guān)于λ的比例式，求出λ即可解決問題．

解答 解：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=20，
∴BD=$\sqrt{2}$AB=20$\sqrt{2}$，AD=$\frac{1}{2}$BC=10$\sqrt{2}$，
設(shè)正方形的邊長為x，
∴SR=RP=x，而AD⊥BC，
∴DE=RP=x，AE=10$\sqrt{2}$-x；
∵四邊形PQSR是正方形，
∴SR∥BC，∠ARS=∠B；而∠SAR=∠BAC，
∴△ARS∽△ABC．
∴$\frac{RS}{BC}=\frac{AE}{AD}$
∴$\frac{x}{20\sqrt{2}}=\frac{10\sqrt{2}-x}{10\sqrt{2}}$，
∴x=$\frac{20}{3}\sqrt{2}$即正方形PQRS的邊長為$\frac{20}{3}\sqrt{2}$．
故答案為$\frac{20}{3}\sqrt{2}$．

點評 此題主要考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是深入把握題意，準確找出圖形中的對應(yīng)元素，正確列出比例式來分析、判斷或解答．