Question

19．已知，矩形OABC在平面直角坐標(biāo)系的位置如圖所示，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，10），拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)O，點(diǎn)C，與AB交于點(diǎn)D，將矩形OABC沿CD折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E剛好落在OA上．
（1）求拋物線y=ax²+bx+c的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在這樣的點(diǎn)P、Q，使得以點(diǎn)P、Q、C、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得DE，CE的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理，可得AD的長(zhǎng)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得答案；
（2）①根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分，可得x_Q=x_P，根據(jù)自變量與函數(shù)式的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案；
②根據(jù)平行四邊形對(duì)邊的橫坐標(biāo)的距離相等可得|x_Q-x_P|，根據(jù)自變量與函數(shù)式的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案．

解答 解：（1）由矩形OCBA，B點(diǎn)坐標(biāo)為（8，10），
得C（8，0），AB=8，AC=BC=10．
設(shè)AD的長(zhǎng)為x，BD=8-x，
由翻折的性質(zhì)，得
DE=DB=8-x，CE=BC=10，
由勾股定理，得OE=$\sqrt{C{E}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，AE=AO-OE=10-6=4，
在Rt△ADE中，由勾股定理，得
AD²+AE²=DE²，即4²+x²=（8-x）²，
解得x=3，即D（3，10），C（8，0），
將D、C、O點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得$\left\{\begin{array}{l}{{3}^{2}a+3b+c=0}\\{{8}^{2}+8b+c=0}\\{c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{2}{3}}\\{b=\frac{16}{3}}\\{c=0}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=-$\frac{2}{3}$x²+$\frac{16}{3}$x；

（2）C點(diǎn)坐標(biāo)為（8，0），E（0，6）
①當(dāng)CE為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，對(duì)角線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3），
∵Q在對(duì)稱軸上，
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)等于Q的橫坐標(biāo)4，
當(dāng)x=4時(shí)，y=$\frac{32}{3}$，
點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)∴P（4，$\frac{32}{3}$）；
②當(dāng)CE為平行四邊形的邊時(shí)，C、E兩點(diǎn)之間的水平距離等于P、Q兩點(diǎn)間的橫坐標(biāo)，
對(duì)稱軸是x=4，C、E兩點(diǎn)之間的水平距離等于8，
P在Q的左邊時(shí)，4-8=-4，當(dāng)x=-4時(shí)，y=-32，即P（-4，-32）；
P在Q的右邊時(shí)，4+8=12，當(dāng)x=12時(shí)，y=-32，即P（12，-32）；
綜上所述：存在這樣的點(diǎn)P、Q，使得以點(diǎn)P、Q、C、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，點(diǎn)P的坐標(biāo)（4，$\frac{32}{3}$），（-4，-32），（12，-32）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，解（1）的關(guān)鍵是利用翻折的性質(zhì)得出DE，CE的長(zhǎng)，又利用了勾股定理，待定系數(shù)法；解（2）的關(guān)鍵是利用平行四邊形的性質(zhì)x_Q=x_P，|x_Q-x_P|；又利用了自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系．