Question

已知關于x一元二次方程x²-2（k+1）x+k²-2k-3=0有兩個不相等的實數(shù)根
（1）求k取值范圍；
（2）當k最小的整數(shù)時，求拋物線y=x²-2（k+1）x+k²-2k-3的頂點坐標以及它與x軸的交點坐標；
（3）將（2）中求得的拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，圖象的其余部分不變，得到一個新圖象．請你畫出這個新圖象，并求出新圖象與直線y=x+m有三個不同公共點時m值．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點,二次函數(shù)圖象與幾何變換

專題：

分析：（1）根據(jù)一元二次方程x²-2（k+1）x+k²-2k-3=0有兩個不相等的實數(shù)根，可知根的判別式△＞0，即可求出k的取值范圍；
（2）根據(jù)k的取值范圍可得當k=0時，為k最小的整數(shù)，進而可求出頂點坐標以及它與x軸的交點坐標；
（3）（2）畫出此函數(shù)圖象后，可發(fā)現(xiàn)，若直線與新函數(shù)有3個交點，可以有兩種情況：
①直線經過原二次函數(shù)與x軸的交點A（即左邊的交點），可將A點坐標代入直線的解析式中，即可求出m的值；
②原二次函數(shù)圖象x軸以下部分翻折后，所得部分圖象仍是二次函數(shù)，該二次函數(shù)與原函數(shù)開口方向相反、對稱軸相同、與x軸的交點坐標相同，可據(jù)此判斷出該函數(shù)的解析式，若直線與新函數(shù)圖象有三個交點，那么當直線與該二次函數(shù)只有一個交點時，恰好滿足這一條件，那么聯(lián)立直線與該二次函數(shù)的解析式，可化為一個關于x的一元二次方程，那么該方程的判別式△=0，根據(jù)這一條件可確定m的取值．

解答：解：（1）由題意，得△=4（k+1）²-4（k²-2k-3）=16k+16＞0，
∴k＞-1，
∴k的取值范圍為k＞-1；

（2）∵k＞-1，且k取最小的整數(shù)，∴k=0．
∴y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
則拋物線的頂點坐標為（1，-4），
∵y=x²-2x-3的圖象與x軸相交，
∴0=x²-2x-3，
∴解得：x=-1或3，
∴拋物線與x軸相交于A（-1，0），B（3，0）；

（3）翻折后所得新圖象如圖所示．
平移直線y=x+m知：直線位于l₁和l₂時，它與新圖象有三個不同的公共點．
①當直線位于l₁時，此時l₁過點A（-1，0），
∴0=-1+m，即m=1．                    
②當直線位于l₂時，此時l₂與函數(shù)y=-x²+2x+3的圖象有一個公共點，
∴方程x+m=-x²+2x+3，
即x²-x-3+m=0有兩個相等實根，
∴△=1-4（m-3）=0，
即m=

13

4

．                                
當m=

13

4

時，x₁=x₂=

1

2

滿足-1≤x≤3，
由①②知m=1或m=

13

4

．

點評：此題考查了二次函數(shù)圖象與坐標軸交點及頂點坐標的求法、函數(shù)圖象交點以及根據(jù)值域確定二次函數(shù)參數(shù)取值范圍的問題，綜合性強，難度較大．