Question

如圖1，△ABC中，∠ABC與∠ACB的角平分線交于點D，過點D作EF∥BC交AB與點E，交AC于點F．
（1）求證：BE+CF=EF；
（2）若將已知條件中的“∠ACB的角平分線”改為“∠ACB的外角平分線”，其他條件不變（如圖2）（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請寫出BE，CF，EF之間的關(guān)系．（不需證明）
 

Answer 1

考點：等腰三角形的判定與性質(zhì),平行線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）等腰三角形有△BED和△CFD，根據(jù)角平分線性質(zhì)和平行線性質(zhì)推出∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，根據(jù)等角對等邊推出即可；根據(jù)BE=DE，CF=DF即可得出EF與BE、CF之間的關(guān)系；
（2）類比（1）的方法推出結(jié)論即可．

解答：解：（1）∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCB，
∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCB，
∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，
∴BE=DE，CF=DF，
∴△BED和△CFD是等腰三角形
∴EF=BE+CF．

（2）∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，
∴∠EBD=∠DBC，∠FCD=∠DCG，
∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，∠FDC=∠DCG，
∴∠EBD=∠EDB，∠FDC=∠FCD，
∴BE=DE，CF=DF，
∴△BED和△CFD是等腰三角形
即圖中等腰三角形有△BED，△CFD；
EF與BE、CF之間的關(guān)系是EF=BE-CF，
理由是：∵BE=DE，CF=DF，
∴EF=DE-DF=BE-CF．

點評：本題考查了角平分線定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識點，關(guān)鍵是推出BE=DE，CF=DF．