Question

3．如圖，點P為⊙O上一點，弦AB=$\sqrt{3}$cm，PC是∠APB的平分線，∠BAC=30°．
（Ⅰ）求⊙O的半徑；
（Ⅱ）當∠PAC等于多少時，四邊形PACB有最大面積？最大面積是多少？
（直接寫出答案）

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接OA，OC，根據圓周角定理得到∠AOC=60°，由角平分線的定義得到∠APC=∠BPC，求得$\widehat{AC}=\widehat{BC}$，得到AD=BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OC⊥AB，即可得到結論；
（Ⅱ）先求得AC=BC，再根據已知條件得S_{四邊形PACB}=S_△ABC+S_△PABS_△ABC，當S_△PAB最大時，四邊形PACB面積最大，求出PC=2，從而計算出最大面積．

解答 解：（Ⅰ）如圖1，連接OA，OC，
∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=60°，
∵PC是∠APB的平分線，
∴∠APC=∠BPC，
∴$\widehat{AC}=\widehat{BC}$，
∴AD=BD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，OC⊥AB，
∴OA=1，
∴⊙O的半徑為1；
（Ⅱ）如圖2，∵PC平分∠APB，
∴∠APC=∠BPC，
∴AC=BC，
由AB=$\sqrt{3}$cm，求得AC=BC=1，
∵S_{四邊形PACB}=S_△ABC+S_△PAB，
S_△ABC為定值，
當S_△PAB最大時，四邊形PACB面積最大，
由圖可知四邊形PACB由△ABC和△PAB組成，
且△ABC面積不變，故要使四邊形PACB面積最大，只需求出面積最大的△PAB即可，
在△PAB中，AB邊不變，其最長的高為過圓心O與AB垂直（即AB的中垂線）與圓O交點P，此時四邊形PACB面積最大．此時△PAB為等邊三角形，此時PC應為圓的直徑∠PAC=90°，
∵∠APC=∠BAC=30°，
∴PC=2AC=2，
∴四邊形PACB的最大面積為$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}×2$=$\sqrt{3}$（cm²）．

點評 本題考查了垂徑定理，圓周角定理，以及圓心角、弧、弦之間的關系，根據題意分類討論是解題的關鍵．