Question

閱讀以下內(nèi)容，并回答問題：
若一個三角形的兩邊平方和等于第三邊平方的兩倍，我們稱這樣的三角形為奇異三角形．
（1）命題“等邊三角形一定是奇異三角形”是

 

命題（填“真”或“假”）；
（2）在△ABC中，已知∠C=90°，△ABC的內(nèi)角∠A、∠B、∠C所對邊的長分別為a、b、c，且b＞a，若Rt△ABC是奇異三角形，求a：b：c；
（3）如圖，已知AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)（點(diǎn)C與點(diǎn)A、B不重合），D是半圓

ADB

的中點(diǎn)，C、D在直徑AB的兩側(cè)，若存在點(diǎn)E，使AE=AD，CB=CE．求證：△ACE是奇異三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：圓心角、弧、弦的關(guān)系,勾股定理

專題：閱讀型

分析：（1）直接根據(jù)奇異三角形的定義直接得出結(jié)論；
（2）先根據(jù)勾股定理得出a²+b²=c²，再由Rt△ABC是奇異三角形，且b＞a可知a²+c²=2b²，把a(bǔ)當(dāng)作已知條件表示出b，c的值，進(jìn)而可得出結(jié)論；
（3）連接BD，根據(jù)圓周角定理得出∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ACB與在Rt△ADB中可得出AC²+BC²=AB²，AD²+BD²=AB²，根據(jù)點(diǎn)D是半圓

ADB

的中點(diǎn)，得出

AD

=

BD

．故可得出AD=BD．通過等量代換可得出AC²+CB²=2AD²．再由CB=CE，AE=AD可得出AC²+CE²=2AE²故可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵若一個三角形的兩邊平方和等于第三邊平方的兩倍，我們稱這樣的三角形為奇異三角形，
∴等邊三角形一定是奇異三角形是真命題．
故答案為：真；

（2）∵∠C=90°，
∴a²+b²=c²①．
∵Rt△ABC是奇異三角形，且b＞a，
∴a²+c²=2b²②．
由①②得：b=

2

a，c=

3

a．
∴a：b：c=1：

2

：

3

．

（3）連接BD．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=∠ADB=90°．
在Rt△ACB中，AC²+BC²=AB²，
在Rt△ADB中，AD²+BD²=AB²，
∵點(diǎn)D是半圓

ADB

的中點(diǎn)，∴

AD

=

BD

．
∴AD=BD．
∴AB²=AD²+BD²=2AD²．
∴AC²+CB²=2AD²．
又∵CB=CE，AE=AD，
∴AC²+CE²=2AE²．
∴△ACE是奇異三角形．

點(diǎn)評：本題考查的是奇異三角形的定義，熟知勾股定理及等邊三角形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．