Question

9．如圖，△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，將△ABC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°（0≤α≤90°），得到△EFC，EF與AB、AC相交于點(diǎn)D、H，F(xiàn)C與AB相交于點(diǎn)G、AC相交于點(diǎn)D、H，F(xiàn)C與AB相較于點(diǎn)G．
（1）求證：△GBC≌△HEC；
（2）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，四邊形BCED可以是某種特殊的平行四邊形？并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先判斷△ABC為等腰直角三角形得到∠A=∠B=45°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠BCF=∠ACE=α，∠E=∠A=45°，CA=CE=CB，于是可根據(jù)“ASA”判斷△GBC≌△HEC；
（2）當(dāng)α=45°時(shí)，如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠BCF=∠ACE=45°，則可計(jì)算出∠BCE=∠BCA+∠ACE=135°，所以∠B+∠BCE=180°，∠E+∠BCE=180°，所以BD∥CE，BC∥DE，于是可判斷四邊形BCED為平行四邊形，加上CB=CE，則可判斷四邊形BCED為菱形．

解答 （1）證明：∵BC=AC，∠ACB=90°，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴∠A=∠B=45°，
∵△ABC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α°（0≤α≤90°），得到△EFC，
∴∠BCF=∠ACE=α，∠E=∠A=45°，CA=CE=CB，
在△GBC和△HEC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠E}\\{CB=CE}\\{∠BCG=∠ECH}\end{array}\right.$，
∴△GBC≌△HEC；
（2）解：當(dāng)α=45°時(shí)，四邊形BCED為菱形．理由如下：
如圖，∵∠BCF=∠ACE=45°，
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°+45°=135°，
而∠E=∠B=45°，
∴∠B+∠BCE=180°，∠E+∠BCE=180°，
∴BD∥CE，BC∥DE，
∴四邊形BCED為平行四邊形，
∵CB=CE，
∴四邊形BCED為菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．解決本題的關(guān)鍵是掌握菱形的判定方法．