Question

兩條直線相交，四個交角中的一個銳角或一個直角稱為這兩條直線的“夾角”（見圖）現(xiàn)在平面上有若干條直線，它們兩兩相交并且“夾角”只能是30°或者是60°或者是90°時，問：平面上最多有多少條直線？當直線條數(shù)最多時，所有的“夾角”的和是多少？

Answer 1

考點：對頂角、鄰補角

專題：

分析：根據(jù)題意，“夾角”只能是30°，60°或90°，都是30°的倍數(shù)，根據(jù)這個倍數(shù)，通過旋轉的方法，進一步解答即可．

解答：解：因為夾角只能是30°、60°或者90°，其均為30°的倍數(shù)，所以每畫一條直線后，逆時針旋轉30°畫下一條直線，這樣就能夠保證兩兩直線夾角為30°的倍數(shù)，即為30°、60°或者90°（因為如果每次旋轉度數(shù)其他角度，例如15°，則必然會出現(xiàn)兩條直線的夾角為15°或15°的其它倍數(shù)，如45°這與題目不符）；
因為該平面上的直線兩兩相交，也就是說不會出現(xiàn)平行的情況，在畫出6條直線時，直線旋轉過5次，5×30°=150°，如果再畫出第7條直線，則旋轉6次，6×30°=180°，這樣第七條直線就與第一條直線平行了．
如圖：

所以最多能畫出六條．
（1）第2條至第6條直線與第1條直線 的“夾角”和是：30°+60°+90°+60°+30°=270°，
（2）第3條至第6條直線與第2條直線相交的“夾角”和是：270°-30°=240°，
（3）第4條至第6條直線與第3條直線相交的“夾角”和是：270°-30°-60°=180°，
（4）第5和第6條直線與第4條直線相交的“夾角”和是60°+30°=90°，
（5）第6條直線與第5條直線相交的“夾角”和是：30°
則270°+240°+180°+90°+60°=840°．
答：平面上最多有6條直線．當直線條數(shù)最多時，所有的“夾角”的和是840°．

點評：本題考查了對頂角、鄰補角．根據(jù)題意，由題目給出的條件，通過旋轉的方法進一步解答即可．