Question

12．如圖1，△ABC中，CD⊥AB于D，且BD：AD：CD=2：3：4，
（1）試說明△ABC是等腰三角形；
（2）已知S_△ABC=10cm²，如圖2，動點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)以每秒1cm的速度沿線段BA向點(diǎn)A 運(yùn)動，同時動點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)以相同速度沿線段AC向點(diǎn)C運(yùn)動，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時整個運(yùn)動都停止．設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動的時間為t（秒），
①若△DMN的邊與BC平行，求t的值；
②若點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，問在點(diǎn)M運(yùn)動的過程中，△MDE能否成為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)BD=2x，AD=3x，CD=4x，根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)等腰三角形的判定定理解答；
（2）根據(jù)三角形的面積公式求出三角形的三邊長，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)列式計(jì)算即可；
（3）分DE=DM、ED=EM、MD=ME三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答．

解答 解：（1）設(shè)BD=2x，AD=3x，CD=4x，
在Rt△ACD中，AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=5x，又AB=5x，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）S_△ABC=$\frac{1}{2}$×5x×4x=10cm²，
解得，x=1cm，
則BD=2cm，AD=3cm，CD=4cm，AC=5cm，
①當(dāng)MN∥BC時，AM=AN，即5-t=t，
∴t=2.5，
當(dāng)DN∥BC時，AD=AN，
則t=3，
故若△DMN的邊與BC平行時，t值為2.5或3．
②當(dāng)點(diǎn)M在BD上，即0≤t＜2時，△MDE為鈍角三角形，但DM≠DE，
當(dāng)t=2時，點(diǎn)M運(yùn)動到點(diǎn)D，不構(gòu)成三角形，
當(dāng)點(diǎn)M在DA上，即2＜t≤5時，△MDE為等腰三角形，有3種可能．
如果DE=DM，則t-2=2.5，
∴t=4.5，
如果ED=EM，則點(diǎn)M運(yùn)動到點(diǎn)A，
∴t=5，
如果MD=ME=t-2，則（t-2）²-（t-3.5）²=2²，
∴t=$\frac{49}{12}$，
綜上所述，符合要求的t值為4.5或5或$\frac{49}{12}$．

點(diǎn)評 本題考查的是等腰三角形的判定和性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系以及勾股定理的應(yīng)用，掌握等腰三角形的判定定理、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．