Question

11．如圖，在⊙O中，直徑AB交弦CD于點(diǎn)G，CG=DG，⊙O的切線BE與DO的延長線相交于點(diǎn)E，DO的延長線交⊙O于點(diǎn)F，連接BD，BF．
（1）求證：∠CDE=∠E；
（2）若OD=4，EF=1，求BF的長．

Answer 1

分析 （1）由在⊙O中，直徑AB交弦CD于點(diǎn)G，CG=DG，根據(jù)垂徑定理即可得AB⊥CD，又由BE是⊙O的切線，易證得CD∥BE，即可證得結(jié)論；
（2）易證得△ODG∽△OEB，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得OG的長，由勾股定理即可求得DG的長，作FH⊥AB于點(diǎn)H．則CD∥FH，在直角△BHF中利用勾股定理即可求得BF的長．

解答 （1）證明：∵在⊙O中，直徑AB交弦CD于點(diǎn)G，CG=DG，
∴AB⊥CD，
∵BE是⊙O的切線，
∴AB⊥BE，
∴CD∥BE，
∴∠CDE=∠E；
（2）解：∵∠CDE=∠E，∠DOG=∠BOE，
∴△ODG∽△OEB，
∴$\frac{OG}{OB}$=$\frac{OD}{OE}$，
∵OD=4，EF=1，
∴OB=OF=OD=4，
∴OE=OF+EF=5，
∴$\frac{OG}{4}$=$\frac{4}{5}$，
∴OG=$\frac{16}{5}$，
∴DG=$\sqrt{O{D}^{2}-O{G}^{2}}$=$\frac{12}{5}$，
作FH⊥AB于點(diǎn)H．則CD∥FH，
又∵OF=OD，
∴FH=DG=$\frac{12}{5}$，OH=OG=$\frac{16}{5}$，
∴BH=OB-OH=4-$\frac{16}{5}$=$\frac{4}{5}$，
∴Rt△BHF中，BF=$\sqrt{B{H}^{2}+F{H}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{4}{5}）^{2}+（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評 此題考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)．注意證得△ODG∽△OEB是解此題的關(guān)鍵．