Question

20．如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)G，E為AD的中點(diǎn)，連接BE交AC于點(diǎn)F，連接FD，若∠BFA=90°，則下列四對(duì)三角形：
①△BEA與△ACD；
②△FED與△DEB；
③△CFD與△ABC；
④△ADF與△CFB．
其中相似的為（　�。�

• A． ①④
• B． ①②
• C． ②③④
• D． ①②③

Answer 1

分析 根據(jù)題意，分別尋找各對(duì)三角形相似的條件，運(yùn)用判定方法判斷．∠EFC=∠ADC=90°，所以可得∠DCA+∠FED=180°，又因?yàn)椤螰ED+∠AEB=180°，所以可得∠AEB=∠DCA，∠CDA=∠DAB=90°，進(jìn)而可證明△BEA∽△ACD；再利用相似三角形相似的判定證明△FED與△DEB，△CFD與△ABG相似，而（4）不成．

解答 解：（1）∵矩形ABCD，∴∠EAB=∠CDA=90°，
∴∠BAF+∠CAD=90°，
又∠BFA=90°，∴∠BAF+∠ABF=90°，
∴∠CAD=∠ABF，
∴△BEA與△ACD相似；故此選項(xiàng)正確；
（2）△FED與△DEB相似．理由：DE²=AE²=EF•EB，∠DEF=∠BED；故此選項(xiàng)正確；
（3）△CFD與△ABG相似．理由：∠CDF=90°-∠EDF，∠AGB=90°-∠EBG，
由（2）的結(jié)論得：∠EDF=∠EBD，故∠CDF=∠AGB；∵AB∥CD，∴∠DCF=∠BAG；故此選項(xiàng)正確；
（4）△ADF與△CFB不具備相似條件．
故選A．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了相似三角形的判定：①有兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似；②有兩個(gè)對(duì)應(yīng)邊的比相等，且其夾角相等，則兩個(gè)三角形相似；③三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，則兩個(gè)三角形相似．