Question

13．設(shè)△ABC的外接圓O上的劣弧$\widehat{BC}$的中點為K，優(yōu)弧$\widehat{BC}$的中點為S，線段AK與邊BC交于點D，點E，F(xiàn)分別為△ACD，△ABD的外心．試證：A，E，O，F(xiàn)，S五點共圓．

Answer 1

分析 如圖，連接SB、SC、SK、AS、OA，作AB的垂直平分線交SB于F′，連接AF′，DF′，作AC的垂直平分線交SC于E′，連接AE′，設(shè)AB交SK于G．首先證明A，E′，O，F(xiàn)′，S五點共圓，再利用重合法證明點F′是△ABD的外心，點E′是△ADC的外心，推出F與F′重合，E與E′重合，即可解決問題．

解答 證明：如圖，連接SB、SC、SK、AS、OA，作AB的垂直平分線交SB于F′，連接AF′，DF′，作AC的垂直平分線交SC于E′，連接AE′，設(shè)AB交SK于G．

∵劣弧$\widehat{BC}$的中點為K，優(yōu)弧$\widehat{BC}$的中點為S，
∴SK經(jīng)過圓心O，
∵F′B=F′A，OK=OA，
∴∠F′BA=∠F′AB，∠K=∠OAK，
∵∠SF′A=2∠F′BA，∠SOA=2∠K，
∴∠SF′A=∠SOA，
∴S、F′、O、A四點共圓，同理可證S、O、E′、A四點共圓，
∴A，E′，O，F(xiàn)′，S五點共圓，
∴∠SAF′=∠SOF′，
∵∠SOF′+∠BGO=90°，∠BGO+∠ABC=90°，
∴∠SOF′=∠ABC=∠ASC=∠SAF′，
∵∠AF′S=∠SE′A，AS=SA，
∴△SAF′≌△SAE′，
∴AF′=AE′，
∵∠F′BA=∠F′AB=∠ACE′=∠CAE′，
∴△AF′B∽△AE′C，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BF′}{AE′}$=$\frac{BF′}{SF′}$，
∵$\widehat{BK}$=$\widehat{CK}$，
∴∠BAD=∠DAC，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{BD}{DC}$，
∴$\frac{BD}{DC}$=$\frac{BF′}{SF′}$，
∴DF′∥SC，
∴∠F′DB=∠SCB，
∵SB=SC，
∴∠F′BD=∠SCB=∠F′DB，
∴F′B=F′D=F′A，
∴點F′是△ABD的外心，同理可證E′是△ADC的外心，
∴F與F′重合，E與E′重合，
∴A，E，O，F(xiàn)，S五點共圓．

點評 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、四點共圓、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的外心與外接圓、平行線的判定等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用重合法解決問題，學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，題目比較難，屬于競賽題．