Question

11．如圖所示，在直角△ABC中，∠B=90°，BC=5$\sqrt{3}$，∠C=30°，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D，E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（t＞0），過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE，EF．
（1）求證：AE=DF．
（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t的值；如果不能，說(shuō)明理由．
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△DEF為直角三角形，∠EDF=90°？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由∠DFC=90°，∠C=30°，證出DF=t=AE；
（2）先證明四邊形AEFD為平行四邊形．得出AB=5，再求出AC=2AB=10，AD=AC-DC=10-2t，若△DEF為等邊三角形，則?AEFD為菱形，得出AE=AD，t=10-2t，求出t=$\frac{10}{3}$；
（3）當(dāng)∠EDF=90°時(shí)，四邊形EBFD為矩形．根據(jù)含30度角直角三角形的性質(zhì)得到等量關(guān)系：AD=2AE．即10-2t=2t．由此求得t的值．

解答 解：（1）證明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，
∴DF=t．
又∵AE=t，
∴AE=DF；
（2）能； 理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
又AE=DF，
∴四邊形AEFD為平行四邊形．
∵AB=BC•tan30°=5$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=5，
∴AC=2AB=10，
∴AD=AC-DC=10-2t，
若使△DEF能夠成為等邊三角形，
則平行四邊形AEFD為菱形，則AE=AD，
∴t=10-2t，
∴t=$\frac{10}{3}$；
即當(dāng)t=$\frac{10}{3}$時(shí)，△DEF為等邊三角形；

（3）當(dāng)t=$\frac{5}{2}$時(shí)，△DEF為直角三角形；理由如下：
當(dāng)∠EDF=90°時(shí)，四邊形EBFD為矩形．
在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，
∴AD=2AE．即10-2t=2t，
∴t=$\frac{5}{2}$．
∴當(dāng)t=$\frac{5}{2}$時(shí)，△DEF為直角三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了平行四邊形、菱形、矩形的判定與性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的知識(shí)；考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．