Question

19．如圖1，拋物線y=ax²+bx-2經(jīng)過(guò)A（-1，0）、B（2，0）兩點(diǎn)，叫y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)P位拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交直線BC于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E．
（1）請(qǐng)直接寫出拋物線表達(dá)式和直線BC的表達(dá)式；
（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為$\frac{2}{3}$時(shí)，求證：△OED∽△AOC；
（3）若點(diǎn)P在第四象限內(nèi)，當(dāng)OD=CP時(shí)，求△POD的面積；
（4）M是x軸上的一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)B、C、P、M為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0）、B（2，0）代入y=ax²+bx-2求出a、b，再求出C的坐標(biāo)，代入直線BC即可，
（2）把x=$\frac{2}{3}$分別代入拋物線y₁=x²-x-2和直線y₂=x-2得求出點(diǎn)P、D的坐標(biāo)，得出$\frac{OE}{OA}$=$\frac{ED}{OC}$，再根據(jù)∠OED=∠AOC=90°，即可得出△OED∽△AOC，
（3）設(shè)P、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P（m，m²-m-2）、（m，m-2），過(guò)點(diǎn)C作CF⊥PD于點(diǎn)F，先證出Rt△OED≌Rt△CFP，得出PF=DE，m²-m=2-m，求出P、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出OE、PD，最后根據(jù)S_△POD=$\frac{1}{2}$PD•OE代入計(jì)算即可，
（4）分四種情況討論，若四邊形BCP₁M₁是平行四邊形，P₁的縱坐標(biāo)是-2，-2=x²-x-2得出x₁=0（舍去），x₂=1，從而求出M的坐標(biāo)，若四邊形BCM₃P₃是平行四邊形，作P₃N⊥M₃B，根據(jù)2=x²-x-2，得出x₁=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$（舍去），x₂=$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，即可求出M₃、M₄的坐標(biāo)．

解答 解：（1）拋物線表達(dá)式：y₁=x²-x-2，直線BC的表達(dá)式：y₂=x-2，
（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為$\frac{2}{3}$時(shí)，把x=$\frac{2}{3}$分別代入拋物線y₁=x²-x-2和直線y₂=x-2得：
y₁=-$\frac{20}{9}$，y₂=-$\frac{4}{3}$，
則點(diǎn)P、D的坐標(biāo)分別為（$\frac{2}{3}$，-$\frac{20}{9}$），D（$\frac{2}{3}$，-$\frac{4}{3}$），
OE=$\frac{2}{3}$，OA=1，DE=$\frac{4}{3}$，OC=2，
∵$\frac{OE}{OA}$=$\frac{2}{3}$，$\frac{ED}{OC}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{OE}{OA}$=$\frac{ED}{OC}$，
∵∠OED=∠AOC=90°，
∴△OED∽△AOC，
（3）設(shè)P、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為P（m，m²-m-2）、（m，m-2），
如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥PD于點(diǎn)F，∵DE=2-m，PE=-m²+m+2，EF=2，
∴PF=EF-PE=2-（-m²+m+2）=m²-m，
在Rt△OED和Rt△CFP中，$\left\{\begin{array}{l}{OD=CP}\\{OE=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△OED≌Rt△CFP（HL），
∴PF=DE，
∴m²-m=2-m，
m₁=$\sqrt{2}$，m₂=-$\sqrt{2}$（舍去），
∴P、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$），（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$-2），
∴OE=$\sqrt{2}$，PD=2$\sqrt{2}$-2，
∴S_△POD=$\frac{1}{2}$PD•OE=$\frac{1}{2}$×（2$\sqrt{2}$-2）×$\sqrt{2}$=2-$\sqrt{2}$，
（4）如圖3，若四邊形BCP₁M₁是平行四邊形，
則P₁的縱坐標(biāo)是-2，
由-2=x²-x-2得：
x₁=0（舍去），x₂=1，
∴CP₁=1，
∴M₁B=M₂B=1，
∴M₁的坐標(biāo)為（3，0），M₂的坐標(biāo)為（1，0），
如圖4，若四邊形BCM₃P₃是平行四邊形，作P₃N⊥M₃B，
∵△M₃P₃N≌△BCO，
∵BO=CO=2，
∴P₃N=M₃N=2，
由y₁=x²-x-2得：2=x²-x-2，
解得：x₁=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$（舍去），x₂=$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，
∴ON=-$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，
∴M₃O=1-$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，
∴M₃的坐標(biāo)為（$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，0），
若四邊形BCM_4P4是平行四邊形，作P₄Q⊥OB，
∵△M_4P4N≌△BCO，
∴P₄Q=M₄Q=2，
由y₁=x²-x-2得：2=x²-x-2，
解得：x₁=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$（舍去），
∴OQ=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，
∴M₄O=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$-2=$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，
∴M₄的坐標(biāo)為（$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了二次函數(shù)綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、一元二次方程等，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出所有圖形，注意把不合題意的解舍去．