Question

2．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4$\sqrt{3}$．若動(dòng)點(diǎn)D在線段AC上（不與點(diǎn)A、C重合），過點(diǎn)D作DE⊥AC交AB邊于點(diǎn)E．點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)F，以FC為半徑作⊙C，當(dāng)DE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$時(shí)，⊙C與直線AB相切．

Answer 1

分析 求出AB上的高，CH，即可得出圓的半徑，證△ADE∽△ACB得出比例式，代入求出即可．

解答 解：過C作CH⊥AB于H，
∵∠ACB=90°，BC=2$\sqrt{3}$，AB=4$\sqrt{3}$，AC=6，
∴由三角形面積公式得：$\frac{1}{2}$BC•AC=$\frac{1}{2}$AB•CH，
CH=3，
分為兩種情況：①如圖1，
∵CF=CH=3，
∴AF=6-3=3，
∵A和F關(guān)于D對(duì)稱，
∴DF=AD=$\frac{3}{2}$，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}$，
∴$\frac{DE}{2\sqrt{3}}=\frac{\frac{3}{2}}{6}$，
DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
②如圖2，∵CF=CH=3，
∴AF=6+3=9，
∵A和F關(guān)于D對(duì)稱，
∴DF=AD=4.5，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AC}$，
∴$\frac{DE}{2\sqrt{3}}=\frac{4.5}{6}$，
DE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$；
故答案為：$\frac{3\sqrt{3}}{2}$或$\frac{\sqrt{3}}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的中位線，含30度角的直角三角形性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．