Question

12．已知關(guān)于x的方程x²-kx+k-1=0．
（1）求證：不論k為何值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（2）若等腰△ABC的一邊長(zhǎng)2，另兩邊為這個(gè)方程的兩個(gè)根，求△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）先計(jì)算△，化簡(jiǎn)得到△=（k-2）²，易得△≥0，然后根據(jù)△的意義即可得到結(jié)論；
（2）利用求根公式計(jì)算出方程的兩根x₁=k-1，x₂=1，則可設(shè)b=k-1，c=2，然后討論：當(dāng)2為腰；當(dāng)1為腰，分別求出邊長(zhǎng)，但要滿足三角形三邊的關(guān)系，最后計(jì)算周長(zhǎng)．

解答 （1）證明：△=k²-4×1×（k-1）
=k²-4k+4
=（k-2）²，
∵無(wú)論k取什么實(shí)數(shù)值，（k-2）²≥0，
∴△≥0，
∴無(wú)論k取什么實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；

（2）解：∵x=$\frac{k±（k-2）}{2}$，
∴x₁=k-1，x₂=1，
∵兩邊恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
當(dāng)2為腰，則k-1=2，解得k=3，此時(shí)三角形的周長(zhǎng)=2+2+1=5；
當(dāng)1為腰時(shí)，k-1=1，k=2，此時(shí)1+1=2，故此種情況不存在．
綜上所述，△ABC的周長(zhǎng)為5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了三角形三邊的關(guān)系以及分類討論思想的運(yùn)用．