Question

5．在△ABC中，AB=AC，點D為射線CB上一個動點（不與B、C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，過點E作EF∥BC，交直線AC于點F，連接CE．
（1）如圖①，若∠BAC=60°，則按邊分類：△CEF是等邊三角形；
（2）若∠BAC＜60°．
①如圖②，當(dāng)點D在線段CB上移動時，判斷△CEF的形狀并證明；
②當(dāng)點D在線段CB的延長線上移動時，△CEF是什么三角形？請在圖③中畫出相應(yīng)的圖形并直接寫出結(jié)論（不必證明）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意推出∠ACB=∠ABC=60°，然后通過求證△EAC≌△DAB，結(jié)合平行線的性質(zhì)，即可推出△EFC為等邊三角形；
（2）①根據(jù)（1）的推理方法，即可推出△EFC為等腰三角形；②根據(jù)題意畫出圖形，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)，通過求證△EAC≌△DAB，推出等量關(guān)系，即可推出△EFC為等腰三角形．

解答 解：（1）如圖1，∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠ACB=∠ABC=60°，∠EAC=∠DAB，
∴△DAB≌△EAC，
∴∠ECA=∠B=60°，
∵EF∥BC，
∴∠EFC=∠ACB=60°，
∵在△EFC中，∠EFC=∠ECF=60°=∠CEF，
∴△EFC為等邊三角形，
故答案為：等邊；

（2）①△CEF為等腰三角形，
證明：如圖2，∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，
∴∠ACB=∠ABC，∠EAC=∠DAB，
∴△EAC≌△DAB，
∴∠ECA=∠B，
∴∠ACE=∠ACB，
∵EF∥BC，
∴∠EFC=∠ACB，
∴∠EFC=∠ACE，
∴CE=FE，
∴△EFC為等腰三角形；

②如圖③，△EFC為等腰三角形．
當(dāng)點D在BC延長線上時，以AD為一邊在AD的左側(cè)作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，過點E作BC的平行線EF，交直線AC的延長線于點F，連接DE．
證明：∵AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，
∴∠ACB=∠ABC，∠EAC=∠DAB，
∴△EAC≌△DAB，
∴∠ECA=∠DBA，
∴∠ECF=∠ABC，
∵EF∥BC，
∴∠AFE=∠ACB，
又∵∠ABC=∠ACB，
∴∠AFE=∠ECF，
∴EC=EF，
∴△EFC為等腰三角形．

點評 本題主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意畫出圖形，通過求證三角形全等，推出等量關(guān)系，根據(jù)等量代換推出結(jié)論．