Question

2．有一山莊，它的平面圖為如圖③的五邊形ABCDE，山莊保衛(wèi)人員想在線段CD上選一點M安裝監(jiān)控裝置，用來監(jiān)視邊AB，現(xiàn)只要使∠AMB大約為60°，就可以讓監(jiān)控裝置的效果達到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，問在線段CD上是否存在點M，使∠AMB=60°？若存在，請求出符合條件的DM的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 要滿足∠AMB=60°，可構(gòu)造以AB為邊的等邊三角形的外接圓，該圓與線段CD的交點就是滿足條件的點，然后借助于等邊三角形的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等知識，就可算出符合條件的DM長．

解答 解：在線段CD上存在點M，使∠AMB=60°．
理由如下：
以AB為邊，在AB的右側(cè)作等邊三角形ABG，
作GP⊥AB，垂足為P，作AK⊥BG，垂足為K．
設(shè)GP與AK交于點O，以點O為圓心，OA為半徑作⊙O，
過點O作OH⊥CD，垂足為H，如圖．
則⊙O是△ABG的外接圓，
∵△ABG是等邊三角形，GP⊥AB，
∴AP=PB=$\frac{1}{2}$AB．
∵AB=270，
∴AP=135．
∵ED=285，
∴OH=285-135=150．
∵△ABG是等邊三角形，AK⊥BG，
∴∠BAK=∠GAK=30°．
∴OP=AP•tan30°，
=135×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=45$\sqrt{3}$．
∴OA=2OP=90$\sqrt{3}$．
∴OH＜OA．
∴⊙O與CD相交，設(shè)交點為M，連接MA、MB，
∴∠AMB=∠AGB=60°，OM=OA=90$\sqrt{3}$．
∵OH⊥CD，OH=150，OM=90$\sqrt{3}$，
∴HM=$\sqrt{{OM}^{2}-{OH}^{2}}$=$\sqrt{（90\sqrt{3}）^{2}-{150}^{2}}$=30$\sqrt{3}$．
∵AE=400，OP=45$\sqrt{3}$，
∴DH=400-45$\sqrt{3}$．
若點M在點H的左邊，則DM=DH+HM=400-45$\sqrt{3}$+30$\sqrt{2}$．
∵400-45$\sqrt{3}$+30$\sqrt{2}$＞340，
∴DM＞CD．
∴點M不在線段CD上，應(yīng)舍去．
若點M在點H的右邊，則DM=DH-HM=400-45$\sqrt{3}$-30$\sqrt{2}$．
∵400-45$\sqrt{3}$-30$\sqrt{2}$＜340，
∴DM＜CD．
∴點M在線段CD上．
綜上所述：在線段CD上存在唯一的點M，使∠AMB=60°，
此時DM的長為（400-45$\sqrt{3}$-30$\sqrt{2}$）米．

點評 本題考查了圓綜合題，涉及垂直平分線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系、圓周角定理、勾股定理等知識，考查了操作、探究等能力，綜合性非常強．而構(gòu)造等邊三角形及其外接圓是解決本題的關(guān)鍵．