Question

18．觀察下列等式：
第一個(gè)等式：a₁=$\frac{3}{1×2×{2}^{2}}$=$\frac{1}{1×2}$-$\frac{1}{2×{2}^{2}}$
第二個(gè)等式：a₂=$\frac{4}{2×3×{2}^{3}}=\frac{1}{2×{2}^{2}}-\frac{1}{3×{2}^{3}}$
第三個(gè)等式：a₃=$\frac{5}{3×4×{2}^{4}}=\frac{1}{3×{2}^{3}}-\frac{1}{4×{2}^{4}}$
第四個(gè)等式：a₄=$\frac{6}{4×5×{2}^{5}}=\frac{1}{4×{2}^{4}}-\frac{1}{5×{2}^{5}}$
按上述規(guī)律，回答以下問(wèn)題：
（1）用含n的代數(shù)式表示第n個(gè)等式：a_n=$\frac{n+2}{n（n+1）{•2}^{n+1}}$=$\frac{1}{n{•2}^{n}}-\frac{1}{（n+1）{•2}^{n+1}}$；
（2）式子a₁+a₂+a₃+…a₂₀₁₄=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2015{×2}^{2015}}$．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)前四個(gè)等式的特征，可得第n個(gè)等式的分子是n+2，分母是n（n+1）•2ⁿ⁺¹；然后判斷出后面算式的兩個(gè)數(shù)的分子都是1，第一個(gè)數(shù)的分母是n•2ⁿ，第二個(gè)數(shù)的分母是（n+1）•2ⁿ⁺¹，據(jù)此解答即可．
（2）根據(jù)題意，把前2014個(gè)等式左右兩邊分別相加，求出a₁+a₂+a₃+…a₂₀₁₄的值是多少即可．

解答 解：（1）根據(jù)分析，可得
用含n的代數(shù)式表示第n個(gè)等式：a_n=$\frac{n+2}{n（n+1）{•2}^{n+1}}$=$\frac{1}{n{•2}^{n}}-\frac{1}{（n+1）{•2}^{n+1}}$；

（2）a₁+a₂+a₃+…a₂₀₁₄
=$\frac{1}{1×2}$-$\frac{1}{2×{2}^{2}}$+$\frac{1}{2{×2}^{2}}$-$\frac{1}{3{×2}^{3}}$+$\frac{1}{3{×2}^{3}}$-$\frac{1}{4{×2}^{4}}$+…+$\frac{1}{2014{×2}^{2014}}$-$\frac{1}{2015{×2}^{2015}}$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2015{×2}^{2015}}$
故答案為：$\frac{n+2}{n（n+1）{•2}^{n+1}}$；$\frac{1}{n{•2}^{n}}-\frac{1}{（n+1）{•2}^{n+1}}$；$\frac{1}{2}-\frac{1}{2015{×2}^{2015}}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了探尋數(shù)列規(guī)律問(wèn)題，注意觀察總結(jié)規(guī)律，并能正確的應(yīng)用規(guī)律，解答此題的關(guān)鍵是判斷出第n個(gè)等式的分子、分母的特征，并能用含n的代數(shù)式表示第n個(gè)等式．