Question

如圖，在△ABC中，已知AB=AC=6，BC=8，且∠B=∠DEF（足夠大）與△ABC重疊在一起，即∠B與∠DEF重合，△ABC不動，△DEF運動，并滿足：點E在邊BC上沿B到C的方向運動（不與點B，C重合），且DE始終經(jīng)過點A，EF與AC交于點M．
（1）求證：△ABE∽△ECM；
（2）當BE為何值時，AE=EM？
（3）當BE為何值時，AM=EM？

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由AB=AC，根據(jù)等邊對等角，可得∠B=∠C，求出∠CEM=∠BAE，則可證得：△ABE∽△ECM；
（2）求出CE=AB，根據(jù)全等三角形的判定推出三角形ABE和三角形ECM全等，即可得出答案；
（3）求出

AC

BC

=

CE

AC

，證三角形CAE和三角形CBA相似，推出∠AEC=∠CAB，即可得出結(jié)論．

解答：（1）證明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠AEF=∠B，
∴∠BAE+∠BEA=∠BEA+∠CEM，
∴∠BAE=∠CEM，
∵∠B=∠C，
∴△ABE∽△ECM；

（2）解：當BE=2時，AE=EM，
理由是：∵BC=8，BE=2，
∴CE=6=AB，
在△ABE和△ECM中

∠B=∠C AB=CE ∠BAE=∠CEM

∴△ABE≌△ECM，
∴AE=EM；

（3）解：當BE=3.5時，AM=EM，
理由是：∵BC=8，BE=3.5，
∴CE=4.5，
∵AC=6，CB=8，
∴

AC

BC

=

CE

AC

，
∵∠C=∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴∠AEC=∠BAC，
∵∠BAE=∠CEM，
∴∠CEA-∠CEM=∠CAB-∠BAE，
∴∠CAE=∠AEM，
∴AM=EM．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)的應用，此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想的應用是解此題的關(guān)鍵．