Question

在Rt△ABC中，∠A=90°，D、E分別為AB、AC上的點(diǎn)．

（1）如圖1，CE=AB，BD=AE，過點(diǎn)C作CF∥EB，且CF=EB，連接DF交EB于點(diǎn)G，連接BF，請(qǐng)你直接寫出

EB

DC

的值；
（2）如圖2，CE=kAB，BD=kAE，

EB

DC

=

1

2

，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷出四邊形BFCE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行可得BF∥CE，對(duì)邊相等可得BF=CE，從而得到AB=BF，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出∠DBF=90°，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△BFD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DF=BE，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ABE=∠BFD，再求出∠CFD=90°，從而判斷出△CDF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得DC=

2

CF，然后相比即可得解；
（2）過點(diǎn)C作CF∥BE且是CF=BE，判斷出四邊形BFCE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊互相平行可得BF∥CE，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)求出∠DBF=90°，再根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例，夾角相等，兩三角形相似求出△ABE和△BFD相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得

DF

BE

=

BD

AE

=k，相似三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ABE=∠BFD，然后求出∠DCF=90°，利用勾股定理列式用CF表示出DC，然后列出方程求解即可．

解答：解：（1）∵CF∥EB，且CF=EB，
∴四邊形BFCE是平行四邊形，
∴BF∥CE，BF=CE，
∴∠DBF=180°-∠A=180°-90°=90°，
∵∠A=90°，
∴∠A=∠DBF，
∵CE=AB，
∴AB=BF，
在△ABE和△BFD中，

AB=BF ∠A=∠DBF=90° BD=AE

，
∴△ABE≌△BFD（SAS），
∴DF=BE，∠ABE=∠BFD，
∵CF∥BE，
∴∠EBF+∠BFC=180°，
∴∠CFD=180°-∠BFD-∠EBF=180°-∠ABE-∠EBF=180°-∠ABF=180°-90°=90°，
∴△CDF是等腰直角三角形，
∴DC=

2

CF，
∵CF=EB，
∴

EB

DC

=

2

2

；

（2）如圖，過點(diǎn)C作CF∥BE且是CF=BE，
則四邊形BFCE是平行四邊形，
∴BF∥CE，BF=CE，
∴∠DBF=180°-∠A=180°-90°=90°，
∵∠A=90°，
∴∠A=∠DBF，
∵CE=kAB，BD=kAE，
∴

BF

AB

=

BD

AE

=k，
∴△ABE∽△BFD，
∴

DF

BE

=

BD

AE

=k，∠ABE=∠BFD，
∵CF=BE，
∴

DF

CF

=

DF

BE

=k，
∴DF=kCF，
∵CF∥BE，
∴∠EBF+∠BFC=180°，
∴∠CFD=180°-∠BFD-∠EBF=180°-∠ABE-∠EBF=180°-∠ABF=180°-90°=90°，
由勾股定理得，DC=

DF2+CF2

=

(kCF)2+CF2

=

k2+1

CF，
∴

CF

DC

=

1

k2+1

，
∵

EB

DC

=

1

2

，EB=CF，
∴

1

k2+1

=

1

2

，
兩邊平方并整理得，k²=3，
解得k=

3

，k=-

3

（舍去）．

點(diǎn)評(píng)：本題是相似形綜合題，主要利用了平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，（1）求出△CDF是等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于（2）利用（1）的思路作輔助線構(gòu)造出相似三角形以及直角三角形．