Question

12．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)y=-x與雙曲線(xiàn)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的一個(gè)交點(diǎn)為P（$\sqrt{6}，m$）．
（1）求k的值；
（2）將直線(xiàn)y=-x向上平移b（b＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度后，與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，點(diǎn)B，與雙曲線(xiàn)y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的一個(gè)交點(diǎn)記為Q．若BQ=2AB，求b的值．

Answer 1

分析 （1）將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入y=-x即可求得m=-$\sqrt{6}$，然后把P（$\sqrt{6}$，-$\sqrt{6}$）代入y=$\frac{k}{x}$（k≠0）即可求得k的值；
（2）根據(jù)題意設(shè)平移后的直線(xiàn)為y=-x+b，然后根據(jù)△ABO∽△AQC和BQ=2AB，求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)，代入y=-$\frac{6}{x}$，即可求得b．

解答 解：（1）∵直線(xiàn)y=-x經(jīng)過(guò)P（$\sqrt{6}，m$）．
∴m=-$\sqrt{6}$，
∴P（$\sqrt{6}$，-$\sqrt{6}$），
∵點(diǎn)P（$\sqrt{6}$，-$\sqrt{6}$）在y=$\frac{k}{x}$（k≠0）上，
∴k=$\sqrt{6}$×（-$\sqrt{6}$）=-6．
（2）如圖，∵直線(xiàn)y=-x向上平移b（b＞0）個(gè)單位長(zhǎng)度后的解析式為y=-x+b，
∴OA=OB=b，
∵BQ=2AB，
∴$\frac{AB}{AQ}$=$\frac{1}{3}$或$\frac{AB}{AQ}$=1，
作QC⊥x軸于C，
∴QC∥y軸，
∴△ABO∽△AQC，
∴$\frac{OB}{QC}$=$\frac{OA}{AC}$=$\frac{AB}{AQ}$=$\frac{1}{3}$，或$\frac{OB}{QC}$=$\frac{OA}{AC}$=$\frac{AB}{AQ}$=1，
∴點(diǎn)Q坐標(biāo)（-2b，3b），或（2b，-b）
∴-6b²=-6或-2b²=-6，
b=±1或b=±$\sqrt{3}$，
∵b＞0，
∴b=1或$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)等關(guān)系，相似三角形的判定和性質(zhì)，由點(diǎn)的坐標(biāo)求函數(shù)的解析式以及平移問(wèn)題．