Question

15．閱讀材料：如圖1，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O，點M是AB邊上的一點，過點M分別作ME∥BD，MF∥AC交直線AC、BD于點E、F，顯然四邊形OEMF是平行四邊形．
探究發(fā)現(xiàn)：
（1）當對角線AC，BD滿足AD⊥BD時，四邊形OEMF是矩形．
（2）如圖2，若四邊形ABCD是菱形，且M是AB的中點，判斷四邊形OEMF是什么特殊的平行四邊形，并寫出證明過程．
拓展延伸：
（3）如圖3，在四邊形ABCD為矩形的條件下，若點M是邊AB延長線上的一點，此時OA，ME，MF三條線段之間存在怎樣的數(shù)量關系？并說明理由．
（4）如圖4，若四邊形ABCD為菱形，且AC：BD=k，請直接寫出OA、ME、MF三條線段之間的數(shù)量關系（不需要證明）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的判定證得四邊形OEMF是平行四邊形，由AD⊥BD，由矩形的判定可證得結論；
（2）首先證得四邊形OEMF是平行四邊形，然后利用菱形的對角線互相垂直證得∠EOF=90°，利用有一個角是直角的平行四邊形是矩形證得結論；
（3）根據(jù)四邊形OEMF是平行四邊形，得到OE=MF，根據(jù)四邊形ABCD是矩形，得到OB=$\frac{1}{2}$BD，OC=$\frac{1}{2}$AD，且AC=BD，從而得到OB=OC，進一步得到BE=ME，從而證得結論OB=BE-OE=ME-MF；
（4）由相似三角形的判定證得△AOB∽△MFB，根據(jù)相似三角形的性質可證得$\frac{AO}{BO}=\frac{MF}{BF}$，于是得到AO=kBO，MF=kBF，代入即可得到結論．

解答 解：（1）當AD⊥BD時，四邊形OEMF是矩形，
理由：∵ME∥BD，MF∥AC，
∴四邊形OEMF是平行四邊形，
∵AD⊥BD，
∴四邊形OEMF是矩形，
故答案為：AD⊥BD；

（2）是矩形，
理由：∵ME∥AC，MF∥BD，
∴四邊形OEMF是平行四邊形．
又∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠EOF=90°，
∴四邊形OEMF是矩形；

（3）結論：OB=ME-MF．
理由如下：∵ME∥AC，MF∥BD，
∴四邊形OEMF 是平行四邊形，
∴OE=MF，
又∵四邊形ABCD是矩形，
∴OB=$\frac{1}{2}$BD，OC=$\frac{1}{2}$AD，且AC=BD，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
由ME∥AC可知，∠OCB=∠EMB，
∴BE=ME，
∴OB=BE-OE=ME-MF；

（4）OA+MF=kME，
理由：∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC=2AO，BD=2BO，
由（2）知，四邊形OEMF是矩形，
∴∠EOB=∠F=90°，ME=OF，
∵∠ABO=∠MBF，
∴△AOB∽△MFB，
∴$\frac{AO}{MF}=\frac{BO}{BF}$，
∴$\frac{AO}{BO}=\frac{MF}{BF}$，
AC：BD=k，
∴$\frac{AO}{BO}$=k，
∴$\frac{MF}{BF}$=k，
∴MF=kBF，
∵kME=k（OB+BF）=kOB+kBF=AO+MF，
即OA+MF=kME．

點評 本題考查了矩形的性質及判斷、菱形的性質、平行四邊形的性質及判定，相似三角形的判定和性質，涉及的知識點比較多，解本題的關鍵是熟練特殊四邊形的性質和判定，本題的疑點是特殊四邊形的性質和判定的區(qū)別．