Question

如圖，一張矩形紙片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿對(duì)角線BD對(duì)折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′的位置，BC′交AD于點(diǎn)G．再折疊一次，使點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，得折痕EN，EN交AD于點(diǎn)M，則EM的長(zhǎng)為

 

cm．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）

專題：計(jì)算題

分析：根據(jù)矩形的性質(zhì)得CD=AB=6，AD=BC=8，AD∥BC，由平行線的性質(zhì)得∠ADB=∠CBD，再利用折疊的性質(zhì)得到∠CBD=∠C′BD，BC′=BC=8，DC′=DC=6，
則∠GBD=∠GDB，所以GB=GD，設(shè)DG=x，則BG=x，AG=8-x，在Rt△ABG中，根據(jù)勾股定理得6²+（8-x）²=x²，解得x=

25

4

，則GC′=BC′-BG=

7

4

，然后再根據(jù)折疊的性質(zhì)得EN垂直平分AD，所以∠EMD=90°，DM=

1

2

AD=4，接著證明Rt△DEM∽R(shí)t△DGC′，利用相似比計(jì)算EM的長(zhǎng)．

解答：解：∵四邊形ABCD為矩形，
∴CD=AB=6，AD=BC=8，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵矩形ABCD沿對(duì)角線BD對(duì)折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′的位置，BC′交AD于點(diǎn)G，
∴∠CBD=∠C′BD，BC′=BC=8，DC′=DC=6，
∴∠GBD=∠GDB，
∴GB=GD，
設(shè)DG=x，則BG=x，AG=8-x，
在Rt△ABG中，
∵AB²+AG²=BG²，
∴6²+（8-x）²=x²，解得x=

25

4

，
∴GC′=BC′-BG=8-

25

4

=

7

4

，
∵折疊矩形ABCD一次，使點(diǎn)D與點(diǎn)A重合，得折痕EN，EN交AD于點(diǎn)M，
∴EN垂直平分AD，
∴∠EMD=90°，DM=

1

2

AD=4，
∵∠EDM=∠GDC′，
∴Rt△DEM∽R(shí)t△DGC′，
∴

EM

GC′

=

DM

DC′

，即

EM

7 4

=

4

6

，
∴EM=

7

6

．
故答案為

7

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．也考查了矩形的性質(zhì)勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．