Question

如圖，同心圓O，大圓的面積被小圓所平分，若大圓的弦AB，CD分別切小圓于E、F點(diǎn)，當(dāng)大圓半徑為R時(shí)，且AB∥CD，求陰影部分面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),扇形面積的計(jì)算

專題：計(jì)算題

分析：連結(jié)OC、OD、OE、OF，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得OF⊥CD，OE⊥AB，而AB∥CD，則OF⊥AB，所以EF為小圓的直徑，S_弓形CD=S_弓形AB，再利用大圓的面積被小圓所平分，可計(jì)算OF=

2

2

R，在Rt△OCF中利用勾股定理計(jì)算出CF=

2

2

R，于是可判斷△OCF為等腰直角三角形，得到∠COF=45°，所以∠COD=90°，然后根據(jù)扇形面積公式和S_弓形CD=S_扇形COD-S_△COD計(jì)算出S_弓形CD=S的面積，再利用陰影部分面積=

1

2

S_大圓-2•S_弓形CD進(jìn)行計(jì)算．

解答：解：連結(jié)OC、OD、OE、OF，如圖，
∵大圓的弦AB，CD分別切小圓于E、F點(diǎn)，
∴OF⊥CD，OE⊥AB，
∵AB∥CD，
∴OF⊥AB，
∴EF為小圓的直徑，
∴S_弓形CD=S_弓形AB，
∵大圓的面積被小圓所平分，
∴π•OF²=

1

2

•πR²，
∴OF=

2

2

R，
在Rt△OCF中，∵OF=

2

2

R，OC=R，
∴CF=

OC2-OF2

=

2

2

R，
∴CD=2CF=

2

R，
∴OF=CF，
∴△OCF為等腰直角三角形，
∴∠COF=45°，
∴∠COD=90°，
∴S_弓形CD=S_扇形COD-S_△COD=

90•π•R2

360

-

1

2

•

2

R•

2

2

R=（

1

4

π-

1

2

）R²，
∴陰影部分面積=

1

2

S_大圓-2•S_弓形CD=

1

2

•πR²-2•（

1

4

π-

1

2

）R²=R²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．也考查了扇形面積得計(jì)算．