Question

1．在?ABCD中，點E是邊BC的中點，點F是線段AE上一點，BF的延長線與邊CD或其延長線交于點G，過點E作EH∥AB與BG交于點H．

猜想：如圖①，當BF的延長線與邊CD交于點G時，若$\frac{AF}{EF}$=3，則$\frac{AB}{EH}$的值是3，$\frac{CD}{CG}$的值是$\frac{3}{2}$．
探究：如圖②，當BF的延長線與邊CD交于點G時，若$\frac{AF}{EF}$=$\frac{3}{2}$，求$\frac{CD}{CG}$的值．
應用：如圖②，若$\frac{AF}{EF}$=m（m＞0），利用探究得到的結論：$\frac{CD}{CG}$的值是$\frac{m}{2}$．（用含m的代數(shù)式表示）

Answer 1

分析 猜想：由EH∥AB，易證得△ABF∽△EHF，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，可得$\frac{AB}{EH}$=$\frac{AF}{EF}$=3，又由四邊形ABCD是平行四邊形，證得△BEH∽△BCG，又由點E是邊BC的中點，即可求得$\frac{CG}{EH}$=$\frac{BC}{BE}$=2，繼而求得答案；
探究：由EH∥AB，易證得△ABF∽△EHF，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，可得$\frac{AB}{EH}$=$\frac{AF}{EF}$=$\frac{3}{2}$，又由四邊形ABCD是平行四邊形，證得△BEH∽△BCG，又由點E是邊BC的中點，即可求得$\frac{CG}{EH}$=$\frac{BC}{BE}$=2，繼而求得答案；
應用：由EH∥AB，易證得△ABF∽△EHF，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，可得$\frac{AB}{EH}$=$\frac{AF}{EF}$=m，又由四邊形ABCD是平行四邊形，證得△BEH∽△BCG，又由點E是邊BC的中點，即可求得$\frac{CG}{EH}$=$\frac{BC}{BE}$=2，繼而求得答案．

解答 解：猜想：∵EH∥AB，
∴△ABF∽△EHF，
∴$\frac{AB}{EH}$=$\frac{AF}{EF}$=3，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴$\frac{CD}{EH}$=3，EH∥CD，
∴△BEH∽△BCG，
∵點E是邊BC的中點，
∴$\frac{CG}{EH}$=$\frac{BC}{BE}$=2，
∴$\frac{CD}{CG}$=$\frac{3}{2}$；
故答案為：3，$\frac{3}{2}$．                                              

探究：∵EH∥AB，
∴△ABF∽△EHF．
∴$\frac{AB}{EH}=\frac{AF}{EF}=\frac{3}{2}$．
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD．
∴EH∥CD，
∴△BEH∽△BCG．
∴$\frac{CG}{EH}=\frac{BC}{BE}=2$．
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD．
∴$\frac{CD}{CG}=\frac{3}{4}$；

應用：∵EH∥AB，
∴△ABF∽△EHF．
∴$\frac{AB}{EH}=\frac{AF}{EF}$=m．
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD．
∴EH∥CD，
∴△BEH∽△BCG．
∴$\frac{CG}{EH}=\frac{BC}{BE}=2$．
又∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD．
∴$\frac{CD}{CG}=\frac{m}{2}$．
故答案為：$\frac{m}{2}$．

點評 此題屬于相似三角形的綜合題，考查了相似三角形的判定與性質以及平行四邊形的性質．注意證得△ABF∽△EHF與△BEH∽△BCG是關鍵．